遗传算法求函数最大值：从数学公式到代码实现的奇妙旅程

（前排提示：本文包含大量手撕代码和灵魂画图，建议搭配瓜子阅读效果更佳~）

一、这个数学题不简单！

咱们先来看一个魔鬼函数：

f(x,y,z) = sin(x²+y²+z²) / (x²+y²+z² + 1e-6) + 0.1*(x+y+z)

这个三维函数的最大值在哪里？传统微积分方法可能当场去世——求导方程复杂到怀疑人生！（别问我怎么知道的，头发就是这么没的）

举个栗子🌰：假设我们要找这个函数在区间[-5,5]³范围内的最大值，常规网格搜索法需要：

• 每个维度取100个点 → 总共100³=1,000,000次计算
• 每次计算耗时0.1ms → 总耗时100秒！

（此时一位遗传算法选手优雅路过）

二、遗传算法的魔法原理

（示意图，具体步骤往下看↓↓↓）

核心六步走：

1. 基因编码：把解空间映射到染色体（比如二进制编码）
2. 种群初始化：随机生成N个个体
3. 适应度评估：计算每个个体的函数值
4. 选择操作：保留优秀个体（轮盘赌/锦标赛）
5. 交叉变异：产生新个体（基因重组）
6. 迭代进化：直到满足终止条件

举个接地气的例子：假设要找全中国最高的人

• 编码：用GPS坐标表示位置
• 种群：随机选100个城市
• 适应度：量身高
• 选择：重点在北方地区找
• 变异：偶尔去南方找找惊喜

三、手把手写Python代码

import numpy as np

# 超参数设置（重点！！！）
POP_SIZE = 50       # 种群规模
DNA_SIZE = 24       # 每个维度8位二进制（3维×8=24）
CROSS_RATE = 0.8    # 交叉概率
MUTATION_RATE = 0.003
N_GENERATIONS = 200
X_BOUND = [-5, 5]   # 取值范围

# 目标函数（三维版）
def F(x, y, z):
    r = x**2 + y**2 + z**2
    return np.sin(r)/(r + 1e-6) + 0.1*(x+y+z)

# 解码器：二进制转实数
def translateDNA(pop):
    return pop.dot(2 ** np.arange(DNA_SIZE)[::-1]) / (2**DNA_SIZE-1) * \
           (X_BOUND[1]-X_BOUND[0]) + X_BOUND[0]

# 适应度计算（重要！！！）
def get_fitness(pred):
    return pred - np.min(pred) + 1e-6  # 确保非负

# 选择（轮盘赌法）
def select(pop, fitness):
    idx = np.random.choice(np.arange(POP_SIZE), size=POP_SIZE, 
                          replace=True, p=fitness/fitness.sum())
    return pop[idx]

# 交叉（单点交叉）
def crossover(parent, pop):
    if np.random.rand() < CROSS_RATE:
        i_ = np.random.randint(0, POP_SIZE, size=1)
        cross_points = np.random.randint(0, 2, DNA_SIZE).astype(np.bool)
        parent[cross_points] = pop[i_, cross_points]
    return parent

# 变异（位翻转）
def mutate(child):
    for point in range(DNA_SIZE):
        if np.random.rand() < MUTATION_RATE:
            child[point] = 1 if child[point]==0 else 0
    return child

# 主程序（开始表演！）
pop = np.random.randint(2, size=(POP_SIZE, DNA_SIZE)) 

for _ in range(N_GENERATIONS):
    # 解码三维坐标
    xyz = translateDNA(pop).reshape(-1,3)
    x, y, z = xyz[:,0], xyz[:,1], xyz[:,2]
    
    # 计算适应度
    F_values = F(x, y, z)
    fitness = get_fitness(F_values)
    
    # 进化操作
    pop = select(pop, fitness)
    pop_copy = pop.copy()
    for parent in pop:
        child = crossover(parent, pop_copy)
        child = mutate(child)
        parent[:] = child

# 输出最佳解
best_xyz = translateDNA(pop)[np.argmax(F_values)]
print(f"最大值坐标：{best_xyz}, 函数值：{F(*best_xyz)}")

四、调参侠的生存指南

（血泪经验总结！！！）

1. 种群大小：20-100效果较好，太大算得慢，太小早熟
2. 变异率：0.001-0.1之间，太高变随机搜索，太低没创新
3. 编码长度：每个维度8-12位，精度够用就好
4. 早停策略：连续10代最优解不变就停（防过度拟合）
5. 混合策略：最后用梯度下降微调（hybrid算法更香）

五、真实世界的应用场景

• 天线设计：华为用遗传算法优化5G天线形状
• 游戏AI：星际争霸的兵种搭配优化
• 物流调度：京东的快递路径规划
• 金融投资：基金组合的收益风险平衡
• 医疗诊断：癌症筛查的特征选择

六、说点掏心窝的话

遗传算法就像个聪明的懒汉——不需要知道问题的深层结构，只要定义好适应度函数，它就能在解空间里乱窜找最优解。虽然不一定每次都能找到全局最优，但在复杂非线性问题上表现惊艳！

不过要注意（敲黑板）：

• 适合解空间大的问题
• 需要合理设置超参数
• 计算成本可能较高
• 对离散问题支持较好

下次遇到求极值头秃的时候，不妨试试这个"达尔文式"的优化方法~ 说不定会有意外惊喜！（毕竟连大自然都能演化出人类，找个函数最大值还不是小菜一碟？）