Datawhale X 李宏毅苹果书 AI夏令营第五期 深度学习（入门）task02-线性模型

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学习教程指路：Datawhile

一、分段线性曲线

在Datawhale X 李宏毅苹果书 AI夏令营第五期 深度学习（入门）task01-通过案例了解机器学习-优快云博客这里介绍的线性模型过于简单，对于实际上可能出现的稍复杂的分段线性曲线关系，预测就会偏差过大。

所以需要写一个更复杂的、更有灵活性的、有未知参数的函数。红色的曲线可以看作是一个常数再加上一群 Hard Sigmoid 函数。Hard Sigmoid 函数的特性是当输入的值，当 x 轴的值小于某一个阈值（某个定值）的时候，大于另外一个定值阈值的时候，中间有一个斜坡。所以它是先水平的，再斜坡，再水平的。所以红色的线可以看作是一个常数项加一大堆的蓝色函数（Hard Sigmoid）。常数项设成红色的线跟 x 轴的交点一样大。常数项怎么加上蓝色函数后，变成红色的这一条线? 蓝线 1 函数斜坡的起点，设在红色函数的起始的地方，第 2 个斜坡的终点设在第一个转角处，让第 1 个蓝色函数的斜坡和红色函数的斜坡的斜率是一样的，这个时候把 0+1 就可以得到红色曲线左侧的线段。接下来，再加第 2 个蓝色的函数，所以第2 个蓝色函数的斜坡就在红色函数的第一个转折点到第 2 个转折点之间，让第 2 个蓝色函数的斜率跟红色函数的斜率一样，这个时候把 0+1+2，就可以得到红色函数左侧和中间的线段。接下来第 3 个部分，第 2 个转折点之后的部分，就加第 3 个蓝色的函数，第 3 个蓝色的函数坡度的起始点设的跟红色函数转折点一样，蓝色函数的斜率设的跟红色函数斜率一样，接下来把 0+1+2+3 全部加起来，就得到完整红色的线。

所以红色线，即分段线性曲线（piecewise linear curve）可以看作是一个常数，再加上一堆蓝色的函数。分段线性曲线可以用常数项加一大堆的蓝色函数组合出来，只是用的蓝色函数不一定一样。要有很多不同的蓝色函数，加上一个常数以后就可以组出这些分段线性曲线。如果分段线性曲线越复杂，转折的点越多，所需的蓝色函数就越多。

也许要考虑的 x 跟 y 的关系不是分段线性曲线，而是如图 1.9 所示的曲线。可以在这样的曲线上面，先取一些点，再把这些点点起来，变成一个分段线性曲线。而这个分段线性曲线跟原来的曲线，它会非常接近，如果点取的够多或点取的位置适当，分段线性曲线就可以逼近这一个连续的曲线，就可以逼近有角度的、有弧度的这一条曲线。 所以可以用分段线性曲线去逼近任何的连续的曲线，而每个分段线性曲线都可以用一大堆蓝色的函数组合起来。也就是说，只要有足够的蓝色函数把它加起来，就可以变成任何连续的曲线。

假设 x 跟 y 的关系非常复杂也没关系，就想办法写一个带有未知数的函数。直接写 HardSigmoid 不是很容易，但是可以用一条曲线来理解它，用 Sigmoid 函数来逼近 Hard Sigmoid，如图 1.10 所示。Sigmoid 函数的表达式为
y = c 1 1 + e x p