dp专辑F - Mondriaan's Dream [dp+dfs]

最新推荐文章于 2022-02-25 19:38:17 发布

Blithe

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分类专栏：暑假集训文章标签： include c

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本文探讨了一种特定的矩形填充问题，给出了详细的数学模型和递推算法实现过程，并提供了一个具体的C语言代码示例。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

转自：http://hi.baidu.com/newmyl/blog/item/b1d3c609fd6009206b60fbb1.html

当高度和宽度都为奇数时显然答案为0, 这个用面积的奇偶性就很容易得证

记f[i][s1]为第i-1行全满且第i行状态为s1时的种数，便有如下递推关系:

f[i][s1] = sigma(f[i-1][s2]);
其中(s1, s2)整体作为一个放置方案，这样f[h+1][0]即是答案了

对于每一个位置，我们有三种放置方法：

1. 竖直放置

2. 水平放置

3. 不放置

d为当前列号，初始化d, s1, s2都为0;对应以上三种放置方法，s1, s2的调整为:

1. d = d + 1, s1 << 1 | 1, s2 << 1;

2. d = d + 2, s1 << 2 | 3, s2 << 2 | 3;

3. d = d + 1, s1 << 1, s2 << 1 | 1;

先就第一种情况解释一下，另外的两种情况可以类推

S1<<1|1即为把s1的二进制表示后面加上一个1，对就于本题来说就是(d+1)列上放

置，s2<<1即为把s2的二进制表示后面加上一个0，对于本题来说就是(d+1)列上不放置。

但为什么s1、s2会如此变化呢？本人在此处想了好长时间，后来想明白了，s1对应于本行的状态，s2对应于上一行的状态，能竖直放置意味着上一行的(d+1)列是空着的，因此此时上一行的状态为s2<<1，同时竖置放置了之后，则本行(d+1)行放置了东西，状态于是变为s1<<1|1;

当d = w时保存状态

对于初始时的f值，可以假设第0行全满，第一行只有两种放法:

1. 水平放置 d = d + 2, s << 2 | 3;
2. 不放置 d = d + 1, s << 1;
另外，利用滚动数组，可以减少空间的开销

还有一个可以提高较率的地方，当输入的 w > h 时，对调，因为横向的运算是指数

级的，而列向的是线性的.

# include <stdio.h>
# include <string.h>
__int64 a[2][3000];
int t,n,m;
void dfs(int d,int mm)
{
    if(d==m)
    {
        a[0][mm]++;
        return;
    }
    if(d+1<=m)
        dfs(d+1,mm<<1);
    if(d+2<=m)
        dfs(d+2,mm<<2|3);
}
void DFS(int d,int mm,int nn)//mm对应于上一行状态，nn对应于下一行状态
{
    if(d==m)
    {
        a[t][nn]+=a[(t+1)%2][mm];
        return;
    }
    if(d+1<=m)
    {
        DFS(d+1,mm<<1,nn<<1|1);
        DFS(d+1,mm<<1|1,nn<<1);
    }
    if(d+2<=m)
        DFS(d+2,mm<<2|3,nn<<2|3);
}
int main()
{
    int i;
    while(scanf("%d%d",&n,&m)&&n&&m)
    {
        if((n*m)%2)
        {
            printf("0\n");
            continue;
        }
        if(n>m)
            n^=m,m^=n,n^=m;
        memset(a,0,sizeof(a));
        dfs(0,0);
        for(i=2; i<=n; i++)
        {
            t=(i+1)%2;
            DFS(0,0,0);
            memset(a[(t+1)%2],0,sizeof(a[0]));
        }
        printf("%I64d\n",a[(n+1)%2][(1<<m)-1]);
    }
    return 0;
}

别附打表代码：

# include <stdio.h>
__int64 a[11][11]={0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,0,3,0,11,0,41,0,153,0,571,0,1,5,11,36,95,281,781,2245,6336,18061,51205,0,8,0,95,0,1183,0,14824,0,185921,0,1,13,41,281,1183,6728,31529,167089,817991,4213133,21001799,0,21,0,781,0,31529,0,1292697,0,53175517,0,1,34,153,2245,14824,167089,1292697,12988816,108435745,1031151241,8940739824,0,55,0,6336,0,817991,0,108435745,0,14479521761,0,1,89,571,18061,185921,4213133,53175517,1031151241,14479521761,258584046368,3852472573499,0,144,0,51205,0,21001799,0,8940739824,0,3852472573499,0};
int main()
{
int n,m;
while(scanf("%d%d",&n,&m)&&n&&m)
   printf("%I64d\n",a[n-1][m-1]);
return 0;
}