机试基本算法笔记--数学问题

1.%运算符

a%b：若a为正数，则该结果必为非负数；若a为负数，则表达式必为非正数。表达式结果与b的符号没有直接关系，及a%b==a%-b。

(a*b)%c=(a%c+b%c)%c
(a+b)%c=(a%c+b%c)%c

2.最大公约数

int gcd(int a,int b)//递归
{
     return b==0?a:gcd(b,a%b);  
}
int gcd(int a,int b)
{
    while(!b)
    {
        int t=a%b;
        a=b;
        b=t;
    }
    return a;
}

3.最小公倍数

int lcm(int a,int b)
{
    return a*b/gcd(a,b);
}

4.素数筛选

若一个数不是素数，则必存在一个小于它的素数为其因数。那么假如已经获得了小于一个数的所有素数，只需确定该数不能被这些素数整除，这个数即为素数。换一个角度来讲，在获得一个素数时，即将它的所有倍数均标记成非素数，这样当我们遍历到一个数时，它没有被任何小于它的素数标记为非素数，那么就确定其为素数。

int prime[10000];//保存筛选的素数
int primeSize;//保存素数的个数
bool mark[10001];//若mark[i]为true，则表示该数x已被标记成非素数
void init()
{
    for(int i=1;i<=10000;i++)
    {mark[i]=false;}
    primeSize=0;
    for(int i=2;i<=10000;i++)
    {
        if(mark[i]==true) continue;
        prime[primeSize++]=i;
        for(int j=i*i;j<=10000;j+=i)
        {mark[j]=true;}
    }  
}

5.分解素因数

对于一个数$x$有$x=p_1^{e1}\ast p_2^{e2}\ast ...\ast p_n^{en}$
$p_1,p_2,...,p_n$为素数。
那么对于一个数$n$，求其素因数：
首先筛选出小于$n$的所有素数，然后依次遍历小于$n$的素数，判断其是否为n的因数。确定某素数为$n$的因数，则通过试除确定其对应的幂指数。

int ansPrime[30];//按顺序保存分解出的素因数
int ansSize=0;//分解出素因数的个数；
int ansNum[30];//保存分解出的素因数对应的幂指数
for(int i=0;i<primeSize;i++)
{
    if(n%prime[i]==0)
    {
        ansPrime[ansSize]=prime[i];
        ansNum[ansSize]=0;
        while(n%prime[i]==0)
        {
            ansNum[ansSIze]++;
            n/=prime[i];
        }
        ansSize++;
        if(n==1) break;
    }
}

6.快速幂

求$a^b$，就是把a连乘b次，这样一来时间复杂度是$O(n)$。但快速幂能做到$O(logn)$的复杂度。
原理

将b转化为二进制数，例如$11=2^0+2^1+2^3$，即$11_{(10)}=1011_{(2)}$，所以$a^{11}=a^{2^0}\times a^{2^1}\times a^{2^3}$，这样一来只需要计算$a^{2^0}{a}^{2^1}{a}^{2^3}$的值并把他们乘起来即可完成运算。即将需要运算11次的式子变成了运算三次（$2^n$是不需要计算的）。

快速幂（一般）

int pow2(int a,int b){
    int r=1,base=a;
    while(b!=0){
    if(b%2) r*=base;
    base*=base;
    b/=2;
    }
    return r;
}

快速幂（位运算）

int pow3(int x,int n){
  if(n==0) return 1;
  else {
    while((n&1)==0){
      n>>=1;
      x*=x;
    }
  }
  int result=x;
  n>>=1;
  while(n!=0){
    x*=x;
    if(n&1) result*=x;
    n>>=1;
  }
  return result;
}