矩阵论前三章复习

矩阵论复习

一、简答题（5小题，共20分）

1. 线性空间

设 $V$ 是一个非空集合，$F$ 是一个数域，

定义从 $V\times V$ 到 $V$ 的映射为加法，即 $(\alpha ,\beta )\mapsto \gamma =\alpha +\beta$，
定义从 $F\times V$ 到 $V$ 的映射为数乘，即 $(k,\alpha )\mapsto \delta =k\alpha$，

且加法和数乘满足以下8条运算法则：

1. 交换律：$\forall \alpha ,\beta \in V,\alpha +\beta =\beta +\alpha$
2. 结合律：$\forall \alpha ,\beta ,\gamma \in V,(\alpha +\beta )+\gamma =\alpha +(\beta +\gamma )$
3. 零元素：$\exists 0\in V\text{ s.t. }\forall \alpha \in V,\alpha +0=\alpha$
4. 负元素：$\forall \alpha \in V,\exists \beta \in V\text{ s.t. }\alpha +\beta =0$
5. 单位元：$\forall \alpha \in V,1\alpha =\alpha$
6. 数乘结合律：$\forall k,l\in F,\alpha \in V,(kl)\alpha =k(l\alpha )$
7. 左分配律：$\forall k,l\in F,\alpha \in V,(k+l)\alpha =k\alpha +l\alpha$
8. 右分配律：$\forall k\in F,\alpha ,\beta \in V,k(\alpha +\beta )=k\alpha +k\beta$

则称 $V$ 是一个线性空间。

2. 线性变换的不变子空间

设 $W$ 是线性空间 $V$ 的一个非空子集，对 $V$ 的加法和数乘都封闭（子空间的定义），即

• 若 $\alpha ,\beta \in W$，则 $\alpha +\beta \in W$
• 若 $\alpha \in W,k\in F$，则 $k\alpha \in W$

且设 $A$ 是 $V$ 上的线性变换，若：

• $\forall \alpha \in W,A(\alpha )\in W$

则是线性变换 $A$ 的不变子空间。

3. 基到基的过渡矩阵

详细版

设 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 和 ${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_n$ 是 $V$ 中的两组基，它们之间的关系是
$$\begin{array}{rl}{\beta }_1& =a_{11}{\alpha }_1+a_{21}{\alpha }_2+\cdots +a_{n1}{\alpha }_n\\ {\beta }_2& =a_{12}{\alpha }_1+a_{22}{\alpha }_2+\cdots +a_{n2}{\alpha }_n\\ & ⋮\\ {\beta }_n& =a_{1n}{\alpha }_1+a_{2n}{\alpha }_2+\cdots +a_{nn}{\alpha }_n\end{array}$$
将这个关系式用矩阵记号可以表示成
$$({\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_n)=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n)P$$
其中上式右边的矩阵 $P$ 是由 ${\alpha }_i$ 到 ${\beta }_i$ 的过渡矩阵。

简略版

设 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 和 ${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_n$ 是 $V$ 中的两组基，
若 $n$ 阶方阵 $P$ 满足
$$({\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_n)=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n)P$$
则是由 ${\alpha }_i$ 到 ${\beta }_i$ 的过渡矩阵。
（把 ${\beta }_i$ 在基 ${\alpha }_i$ 下的坐标分别作为第 $i$ 列构造的矩阵称为过渡矩阵）

4. 酉空间

设 $V$ 是复数域上的 $n$ 维线性空间，定义从 $V\times V$ 到 $C$ 的映射，所对应的复数称为内积，记为 $(\alpha ,\beta )$
且满足以下4条法则：

1. Hermit性：$(\alpha ,\beta )=\overline{(\beta ,\alpha )}$
2. 第一个变量数乘线性：$k(\alpha ,\beta )=(k\alpha ,\beta )$
3. 第一个变量加法线性：$(\alpha +\beta ,v)=(\alpha ,v)+(\beta ,v)$
4. 正定性：$(\alpha ,\alpha )\ge 0$，当且仅当 $\alpha =0$ 时 $(\alpha ,\alpha )=0$

则是 $n$ 维酉空间

5. 正交矩阵

若 $n$ 阶实矩阵 $A$ 满足 $A^{T}A=A{A}^T=I$，则 $A$ 为正交矩阵

6. 酉矩阵

若 $n$ 阶复矩阵 $A$ 满足 $A^{H}A=A{A}^H=I$，则 $A$ 为酉矩阵

7. 正交变换

设 $V$ 是 $n$ 维欧氏空间，若 $V$ 的线性变换 $\sigma$ 满足：
$$\forall \alpha ,\beta \in V,(\sigma (\alpha ),\sigma (\beta ))=(\alpha ,\beta )$$
则是 $V$ 的正交变换

8. 酉变换

设 $V$ 是 $n$ 维酉空间，若 $V$ 的线性变换 $\sigma$ 满足：
$$\forall \alpha ,\beta \in V,(\sigma (\alpha ),\sigma (\beta ))=(\alpha ,\beta )$$
则是 $V$ 的酉变换

9. 正规矩阵

若 $n$ 阶复矩阵 $A$ 满足 $A{A}^H=A^{H}A$，则 $A$ 为正规矩阵

10. 正规矩阵结构定理

$n$ 阶复矩阵 $A$ 是正规矩阵的充要条件是存在 $n$ 阶酉矩阵 $U$ 使得
$$U^{H}AU=\text{diag}({\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n)$$
（正规矩阵酉相似于对角矩阵）

二、证明题（4小题，共30分）

1. 验证一个空间在某种加法和数乘运算下为线性空间

验证线性空间非空以及8条性质：

1. 交换律：$\alpha +\beta =\beta +\alpha$
2. 结合律：$(\alpha +\beta )+\gamma =\alpha +(\beta +\gamma )$
3. 零元素：$\exists 0\in V\text{ s.t. }\alpha +0=\alpha$
4. 负元素：$\exists \beta \in V\text{ s.t. }\alpha +\beta =0$
5. 单位元：$1\alpha =\alpha$
6. 数乘结合律：$(kl)\alpha =k(l\alpha )$
7. 左分配律：$(k+l)\alpha =k\alpha +l\alpha$
8. 右分配律：$k(\alpha +\beta )=k\alpha +k\beta$

2. 矩阵可逆的充要条件：$n$ 阶矩阵可逆 $\iff$ 矩阵的行列式为非零常数（不含且不为0的常数）

（1）证明 “$\Rightarrow$”：
$n$ 阶矩阵 $A$ 可逆
$$\det (A)\ne 0$$
（2）证明 “$\Leftarrow$”：
由于 $\det (A)\ne 0$，故存在矩阵 $B$，其中 $B$ 是 $A$ 的伴随矩阵
而 $\det (A)\cdot \det (B)=1$，故 $A$ 可逆且逆矩阵就是 $B$

3. 证明向量组线性相关或线性无关

定义1：若数域 $K$ 上的线性空间 $V$ 有一个向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$，
若中有不全为0的数 $k_1,k_2,\cdots ,k_s$ 使得
$$k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+\cdots +k_s{\alpha }_s=0$$
则称向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 线性相关。

定义2：若数域 $K$ 上的线性空间 $V$ 有一个向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$，
若 $k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+\cdots +k_s{\alpha }_s=0$ 当且仅当 $k_1=k_2=\cdots =k_s=0$
则称向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 线性无关。

【线性方程组】中列向量 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 线性相关

• 齐次线性方程组有非零解
• 列向量构成的行列式等于0

【单个向量或部分组】
命题1：含0向量的向量组一定线性相关
命题2：向量组有一个部分组线性相关，则向量组一定线性相关
命题3：向量组线性相关 $\Rightarrow$ 向量组中至少有一个向量可由其余向量线性表出
命题4：向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 线性无关，若向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n,\beta$ 线性相关，则 $\beta$ 可以由向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 线性表出

【表出方式】可以由向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 线性表出，

• 若向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 线性相关，则表出方式不唯一

【向量个数】
命题1：向量组 ${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_r$ 可以由向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s$ 线性表出且 $r>s$，则向量组 ${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_r$ 线性相关
命题2：向量组 ${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_r$ 可以由向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s$ 线性表出且向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s$ 线性相关，则 ${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_r$ 线性相关
命题3：向量组 ${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_r$ 与向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s$ 互相线性表出（向量组等价）且它们都线性无关，则 $r=s$

4. 证明矩阵是正规矩阵

若 $n$ 阶复矩阵 $A$ 满足 $A{A}^H=A^{H}A$，则 $A$ 为正规矩阵

5. 矩阵是酉阵的充要条件

命题1：若 $n$ 阶复矩阵 $A$ 满足 $A^{H}A=A{A}^H=I$，则 $A$ 为酉矩阵
命题2：$n$ 阶复矩阵 $A$ 为酉矩阵 $\iff$ $A$ 的个列向量或行向量是标准正交向量组
证明：设 $A=[{\alpha }_1{\alpha }_2\cdots {\alpha }_n]$，则
$$A^{H}A=I$$
且
$$A^{H}A=\left[\begin{array}{c}{\alpha }_1^H\\ {\alpha }_2^H\\ ⋮\\ {\alpha }_n^H\end{array}\right][{\alpha }_1{\alpha }_2\cdots {\alpha }_n]=I$$
$$\left[\begin{array}{cccc}{\alpha }_1^H{\alpha }_1& {\alpha }_1^H{\alpha }_2& \cdots & {\alpha }_1^H{\alpha }_n\\ {\alpha }_2^H{\alpha }_1& {\alpha }_2^H{\alpha }_2& \cdots & {\alpha }_2^H{\alpha }_n\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {\alpha }_n^H{\alpha }_1& {\alpha }_n^H{\alpha }_2& \cdots & {\alpha }_n^H{\alpha }_n\end{array}\right]=I$$
$${\alpha }_i^H{\alpha }_i=1(i=1,2,\cdots ,n){\alpha }_i^H{\alpha }_j=0\forall i\ne j(i,j=1,2,\cdots ,n)$$
即 $A$ 的个列向量是标准正交向量组（行向量同理可得）

三、计算题（5题，共50分）

1. 例1.12 例1.13

例1.12

已知
$${\alpha }_1=[1,2,1,0{]}^T,{\alpha }_2=[-1,1,1,1{]}^T$$
$${\beta }_1=[2,-1,0,1{]}^T,{\beta }_2=[1,-1,3,7{]}^T$$
求 span { α 1 , α 2 } \text{span}\{\alpha_1, \alpha_2\} span{α1​,α2​} 与 span { β 1 , β 2 } \text{span}\{\beta_1, \beta_2\} span{β1​,β2​} 的和与交的基和维数.

解：
（1）和空间：
由于 span { α 1 , α 2 } + span { β 1 , β 2 } = span { α 1 , α 2 , β 1 , β 2 } \text{span}\{\alpha_1, \alpha_2\} + \text{span}\{\beta_1, \beta_2\} = \text{span}\{\alpha_1, \alpha_2, \beta_1, \beta_2\} span{α1​,α2​}+span{β1​,β2​}=span{α1​,α2​,β1​,β2​}，故把矩阵 $[{\alpha }_1{\alpha }_2{\beta }_1{\beta }_2]$ 经过初等行变换化成阶梯形矩阵：
$$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 2& 1\\ -1& 1& -1& -1\\ 2& -1& 0& 3\\ 1& -1& 1& 7\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{cccc}1& 0& 2& 1\\ 0& 1& 1& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$
故由齐次方程组的基础解系可以得出：
和空间维数为3，基可以为 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\beta }_1-{\beta }_2$。

（2）交空间：
由交空间的定义可知 span { α 1 , α 2 } ∩ span { β 1 , β 2 } \text{span}\{\alpha_1, \alpha_2\} \cap \text{span}\{\beta_1, \beta_2\} span{α1​,α2​}∩span{β1​,β2​}，即
$$k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2=l_1{\beta }_1+l_2{\beta }_2$$
由上可知，解之得 ${\alpha }_1-4{\alpha }_2=3{\beta }_1-{\beta }_2$，故交空间的维数为1，基为 ${\alpha }_1-4{\alpha }_2=3{\beta }_1-{\beta }_2$。

例1.13

已知
$${\alpha }_1=[1,0,1{]}^T,{\alpha }_2=[1,0,-1{]}^T$$
$${\beta }_1=[0,1,0{]}^T,{\beta }_2=[0,0,1{]}^T$$
记 V 1 = span { α 1 , α 2 } , V 2 = span { β 1 , β 2 } V_1 = \text{span}\{\alpha_1, \alpha_2\}, V_2 = \text{span}\{\beta_1, \beta_2\} V1​=span{α1​,α2​},V2​=span{β1​,β2​}，试求：
(1) $V_1+V_2$ 的基和维数
(2) $V_1\cap V_2$ 的基和维数

解：
（1）设方程组
$$k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+k_3{\beta }_1+k_4{\beta }_2=0$$
它等价于齐次方程组
$$\{\begin{array}{l}{k}_1+k_2=0\\ k_1+k_4=0\\ k_2+k_3=0\\ k_2+k_3=0\end{array}$$
解之得：$k_1=-k_2,k_3=-k_2,k_4=-k_2$，故和空间的维数为3，基可以为 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\beta }_1-{\beta }_2$。

（2）由交空间的定义可知 $V_1\cap V_2$，即
$$k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2=l_1{\beta }_1+l_2{\beta }_2$$
由上可知，解之得 ${\alpha }_1-4{\alpha }_2=3{\beta }_1-{\beta }_2$，故交空间的维数为1，基为 ${\alpha }_1-4{\alpha }_2=3{\beta }_1-{\beta }_2$。

2. 例1.23（书本1-15，核子空间基与维数）

例1.23

设 $A$ 是线性空间 $R^3$ 上的线性变换，它在 $R^3$ 中基 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 下的矩阵表示是
$$A=\left[\begin{array}{ccc}1& -1& 2\\ 2& 0& 1\\ 3& 3& 5\end{array}\right]$$
(1) 求在基 ${\beta }_1={\alpha }_1,{\beta }_2={\alpha }_1+{\alpha }_2,{\beta }_3={\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3$ 下的矩阵表示．
(2) 求在基 ${\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3$ 下的核与值域．

解：
（1）由题意知
$$A[{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3]=[{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3]A$$
设 $A$ 在基 ${\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3$ 下的矩阵表示是 $B$，则
$$[{\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3]=[{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3]\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ 1& 1& 1\end{array}\right]$$
$$B=P^{-1}AP$$
其中 $P=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ 1& 1& 1\end{array}\right]$

（2）由于 $\det (A)\ne 0$，故 $AX=0$ 只有零解，所以 $A$ 的核空间是零空间，维数为0，由维数定理可知 $A$ 的值域是线性空间 $R^3$，维数为3。

3. 例2.1 写出不变因子，行列式因子以及初等因子

例2.1

求下列 $\lambda$-矩阵的 Smith 标准形。
（1）
$$\left[\begin{array}{ccc}2& -1& 2\\ 4& -1& 3\\ 4& 2& 8\end{array}\right]$$
（2）
$$\left[\begin{array}{cc}-\lambda +1& \lambda \\ 2\lambda -1& {\lambda }^2\end{array}\right]$$
（3）
$$\left[\begin{array}{ccc}{\lambda }^2& \lambda +4& 0\\ 1& \lambda +4& 0\\ 0& 0& \lambda +4\end{array}\right]$$

解：
（1）行列式因子
$$D_1(\lambda )=1,D_2(\lambda )=\lambda ,D_3(\lambda )=\lambda ((2\lambda -1)(-\lambda )-(\lambda )(\lambda +\lambda -1))-\lambda ((-\lambda +1)(-\lambda )-(\lambda )(\lambda +1))-2((-\lambda +1)(\lambda +\lambda -1)-(2\lambda -1)(\lambda +1))$$
$$=\lambda (-3{\lambda }^2+1)-(-{\lambda }^2-\lambda )-(-3{\lambda }^2+\lambda )$$
$$=\lambda ({\lambda }^2+1)$$
于是不变因子
$$d_1(x)=D_1(\lambda )=1,d_2(x)=\frac{D_2(\lambda )}{D_1(\lambda )}=\lambda ,d_3(x)=\frac{D_3(\lambda )}{D_2(\lambda )}={\lambda }^2+1$$
从而其 Smith 标准形为
$$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \lambda & 0\\ 0& 0& {\lambda }^2+1\end{array}\right]$$
初等因子为 $\lambda ,{\lambda }^2+1$

（2）行列式因子
$$D_1(\lambda )=\lambda -1,D_2(\lambda )=(\lambda -1)(\lambda +1)$$
于是不变因子
$$d_1(x)=D_1(\lambda )=\lambda -1,d_2(x)=\frac{D_2(\lambda )}{D_1(\lambda )}=\lambda +1$$
从而其 Smith 标准形为
$$\left[\begin{array}{cc}\lambda -1& 0\\ 0& \lambda +1\end{array}\right]$$
初等因子为 $\lambda -1,\lambda +1$

（3）行列式因子
$$D_1(\lambda )=1,D_2(\lambda )=1,D_3(\lambda )=(\lambda +4{)}^3$$
于是不变因子
$$d_1(x)=D_1(\lambda )=1,d_2(x)=\frac{D_2(\lambda )}{D_1(\lambda )}=1,d_3(x)=\frac{D_3(\lambda )}{D_2(\lambda )}=(\lambda +4{)}^3$$
从而其 Smith 标准形为
$$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& (\lambda +4{)}^3\end{array}\right]$$
初等因子为 $(\lambda +4{)}^3$

4. 求方阵的 Jordan 标准型及其相似变换矩阵，见矩阵论第二章PPT

例1

求方阵
$$A=\left[\begin{array}{ccc}3& -2& 0\\ 0& -1& 0\\ 8& 6& -5\end{array}\right]$$
的 Jordan 标准形及其相似变换矩阵 $P$。

解：
故行列式因子
$$D_1(\lambda )=1,D_2(\lambda )=\lambda +1,D_3(\lambda )=(\lambda +1{)}^3$$
不变因子为
$$d_1(x)=D_1(\lambda )=1,d_2(x)=\frac{D_2(\lambda )}{D_1(\lambda )}=\lambda +1,d_3(x)=\frac{D_3(\lambda )}{D_2(\lambda )}=(\lambda +1{)}^2$$
初等因子为
$$\lambda +1,(\lambda +1{)}^2$$
故 Jordan 标准形为
$$J=\left[\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& -1& 1\\ 0& 0& -1\end{array}\right]$$
设相似变换矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}AP=J$，则
$$(A{X}_1,A{X}_2,A{X}_3)=(-X_1,-X_2,X_2-X_3)$$
解齐次方程组 $(A+I)X=0$，即
$$\left[\begin{array}{ccc}4& -2& 0\\ 0& 0& 0\\ 8& 6& -4\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]=0$$
解之得一个基础解系为
$$[0,1,0{]}^T,[-2,0,1{]}^T$$
取 $X_1=[0,1,0{]}^T$，
$$X_2=k_1[0,1,0{]}^T+k_2[-2,0,1{]}^T=[-2k_2,k_1,k_2{]}^T$$
$X_2$ 的取法应使非齐次线性方程组 $(A+I)X=X_2$ 有解。把增广矩阵经过初等行变换化为阶梯形矩阵：
$$\left[\begin{array}{cccc}4& -2& 0& -2k_2\\ 0& 0& 0& k_1\\ 8& 6& -4& k_2\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& -\frac{k_2}{2}\\ 0& 1& 0& \frac{3k_2}{2}\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]$$
为了使得非齐次线性方程组 $(A+I)X=X_2$ 有解，应取 $k_1+\frac{3k_2}{2}=0$，于是取 $k_2=1$，$k_1=-\frac{3}{2}$，故 $X_2=[-2,-\frac{3}{2},1{]}^T$。

解非齐次线性方程组 $(A+I)X=X_2$ 得一个特解为
$$X_3=[-\frac{1}{2},0,0{]}^T$$
故相似变换矩阵
$$P=[X_1,X_2,X_3]=\left[\begin{array}{ccc}0& -2& -\frac{1}{2}\\ 1& -\frac{3}{2}& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right]$$

例2

求方阵
$$A=\left[\begin{array}{ccc}-1& -1& -1\\ -2& 0& -1\\ 6& 3& 4\end{array}\right]$$
的 Jordan 标准形及其相似变换矩阵 $P$。

解：
故行列式因子
$$D_1(\lambda )=1,D_2(\lambda )=\lambda -1,D_3(\lambda )=(\lambda -1{)}^3$$
不变因子为
$$d_1(x)=D_1(\lambda )=1,d_2(x)=\frac{D_2(\lambda )}{D_1(\lambda )}=\lambda -1,d_3(x)=\frac{D_3(\lambda )}{D_2(\lambda )}=(\lambda -1{)}^2$$
初等因子为
$$\lambda -1,(\lambda -1{)}^2$$
故 Jordan 标准形为
$$J=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$
设相似变换矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}AP=J$，则
$$(A{X}_1,A{X}_2,A{X}_3)=(X_1,X_2,X_2+X_3)$$
解齐次方程组 $(A-I)X=0$，即
$$\left[\begin{array}{ccc}-2& -1& -1\\ -2& -1& -1\\ 6& 3& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]=0$$
解之得一个基础解系为
$$[-1,1,0{]}^T,[3,0,1{]}^T$$
取 $X_1=[-1,1,0{]}^T$，
$$X_2=k_1[-1,1,0{]}^T+k_2[3,0,1{]}^T=[-k_1+3k_2,k_1,k_2{]}^T$$
$X_2$ 的取法应使非齐次线性方程组 $(A-I)X=X_2$ 有解。把增广矩阵经过初等行变换化为阶梯形矩阵：
$$\left[\begin{array}{cccc}-2& -1& -1& -k_1+3k_2\\ -2& -1& -1& k_1\\ 6& 3& 3& k_2\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& \frac{k_1}{2}-\frac{3k_2}{2}\\ 0& 1& 0& \frac{3k_1}{2}-\frac{3k_2}{2}\\ 0& 0& 1& \frac{k_1}{2}-\frac{k_2}{2}\end{array}\right]$$
为了使得非齐次线性方程组 $(A-I)X=X_2$ 有解，应取 $k_1=k_2$，于是取 $k_1=k_2=1$，故 $X_2=[2,1,1{]}^T$。

解非齐次线性方程组 $(A-I)X=X_2$ 得一个特解为
$$X_3=[-1,0,0{]}^T$$
故相似变换矩阵
$$P=[X_1,X_2,X_3]=\left[\begin{array}{ccc}-1& 2& -1\\ 1& 1& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right]$$

5. 计算某欧氏空间度量矩阵以及该空间两向量内积。例子3.3

例3.3

在线性空间 $R[x{]}_3$ 中定义内积
$$(f(x),g(x))={\int }_{-1}^{1}f(x)g(x)dx$$
那么 $R[x{]}_3$ 构成欧氏空间。

(1) 求基 { 1 , x , x 2 } \{1, x, x^2\} {1,x,x2} 的度量矩阵；
(2) 求 $f(x)=1-x+x^2$ 与 $g(x)=1-4x-5x^2$ 的内积。

解：
（1）设基 { 1 , x , x 2 } \{1, x, x^2\} {1,x,x2} 的度量矩阵为 $A$，根据乘法交换律可知为对称矩阵，故
$$A=\left[\begin{array}{ccc}(1,1)& (1,x)& (1,x^2)\\ (1,x)& (x,x)& (x,x^2)\\ (1,x^2)& (x,x^2)& (x^2,x^2)\end{array}\right]$$
根据定义可知：
$$\begin{gathered} (1,1)={\int }_{-1}^{1}1\cdot 1dx=2,(1,x)={\int }_{-1}^{1}1\cdot xdx=0,(1,x^2)={\int }_{-1}^{1}1\cdot x^{2}dx=\frac{2}{3}, \\ (x,x)={\int }_{-1}^{1}x\cdot xdx=\frac{2}{3},(x,x^2)={\int }_{-1}^{1}x\cdot x^{2}dx=0,(x^2,x^2)={\int }_{-1}^1{x}^2\cdot x^{2}dx=\frac{2}{5} \end{gathered}$$

因此，度量矩阵 $A$ 为
$$A=\left[\begin{array}{ccc}2& 0& \frac{2}{3}\\ 0& \frac{2}{3}& 0\\ \frac{2}{3}& 0& \frac{2}{5}\end{array}\right]$$

（2）因为 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在基 { 1 , x , x 2 } \{1, x, x^2\} {1,x,x2} 下的坐标分别为 $X=[1,-1,1{]}^T$ 和 $Y=[1,-4,-5{]}^T$，所以
$$(f(x),g(x))=X^{T}AY=[1,-1,1]\left[\begin{array}{ccc}2& 0& \frac{2}{3}\\ 0& \frac{2}{3}& 0\\ \frac{2}{3}& 0& \frac{2}{5}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ -4\\ -5\end{array}\right]$$

计算上述矩阵乘法：
$$\begin{array}{rl}(f(x),g(x))& =[1,-1,1]\left[\begin{array}{c}2\cdot 1+0\cdot (-4)+\frac{2}{3}\cdot (-5)\\ 0\cdot 1+\frac{2}{3}\cdot (-4)+0\cdot (-5)\\ \frac{2}{3}\cdot 1+0\cdot (-4)+\frac{2}{5}\cdot (-5)\end{array}\right]\\ & =[1,-1,1]\left[\begin{array}{c}2-\frac{10}{3}\\ -\frac{8}{3}\\ \frac{2}{3}-2\end{array}\right]\\ & =[1,-1,1]\left[\begin{array}{c}-\frac{4}{3}\\ -\frac{8}{3}\\ -\frac{4}{3}\end{array}\right]\\ & =1\cdot \left(-\frac{4}{3}\right)+(-1)\cdot \left(-\frac{8}{3}\right)+1\cdot \left(-\frac{4}{3}\right)\\ & =-\frac{4}{3}+\frac{8}{3}-\frac{4}{3}\\ & =0\end{array}$$

因此，$f(x)$ 与 $g(x)$ 的内积为 0。

总结

以上是矩阵论复习的前三章重点内容，涵盖了线性空间、线性变换、不变子空间、过渡矩阵、酉空间、正交矩阵、酉矩阵、正交变换、酉变换、正规矩阵及其结构定理、证明题和计算题等内容。