完全背包问题 从朴素到终极

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e3 + 10;
int w[N], v[N];
/*int f[N][N];

int main()
{
	int n,m;
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		cin>>v[i]>>w[i];
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=0;j<=m;j++)
		{
			for(int k=0;k*v[i]<=j;k++)
			{
				f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i]);
			}
		}
	}
	cout<<f[n][m];
	return 0;
}
//其动态规划方程为：f[i][j]=max(f[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i]); 曲线救国得来.
*/
/*
	进行第一次的优化：
	首先，for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			for(int j=0;j<=m;j++)
			{
				for(int k=0;k*v[i]<=j;k++)
				{
					f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i]);
				}
			}
		}
	我们提取出其动态转移方程：f[i][j]=max(f[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i])并对其进行展开有：
	f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-v]+w,f[i-1][j-2v]+2w,f[i-1][j-3v]+3w,....)并将其与f[i][j-v]=max(f[i][j-(k+1)v]+(k+1)w[i]对比。
	f[i][j-v]=max(        f[i-1][j-v]  ,f[i-1][j-2v]+w ,f[i-1][j-3v]+2w,....)
	由上面两式一一对应下来可以得知f[i][j]从第二项开始的每一项与f[i][j-v]
	的每一项相对应且都比f[i][j-v]的每一项多一个w,由此可见f[i][j]从第二项开始的
	最大值为f[i][j-v]+w;
	至此,动态转移方程优化为:f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-v]+w),从需要枚举k项
	优化至只需比较两项,将一层循环优化掉，此时主代码为：
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=0;j<=m;j++)
		{
			f[i][j]=f[i-1][j];
			if(j>=v[i])f[i][j]=max(f[i][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);
		}
	}
	此时进行第二轮优化：将第一维去掉:
	for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			for(int j=v[i];j<=m;j++)
			{
				f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
			}
		}
	若是与[01背包的最终代码](https://blog.youkuaiyun.com/llle_123/article/details/126024930?spm=1001.2014.3001.5501)相比会发现极其相似,但是因为01背包是从i-1层
	来推第i层我们在跑代码的时候不能将第i-1层的数据提前覆盖掉所以j从大到小
	但是完全背包是从第i层推出的第i层需要将其提前更新，故j从小到大；

*/
int f[N];
int main() {
	int n, m;
	cin >> n >> m;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		cin >> v[i] >> w[i];
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int j = v[i]; j <= m; j++) {
			f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
		}
	}
	cout << f[m];
	return 0;
}