CF1342F Make It Ascending

CF1342F Make It Ascending

题目大意

给定一个长度为$n$的序列$a$，每次可以选择两个位置$i,j(i\ne j)$，令$a_j=a_i+a_j$并将$a_i$从序列中删除
求将原序列变成严格单调上升序列的最少操作次数
$n\le 15$

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题目相当于：求将序列$a$划分成若干集合$S_1,S_2,\cdots ,S_c$，集合之间有序，满足$S_i$之和小于$S_{i+1}$之和（即单调递增），且存在一个单调上升序列$p$满足$p_i\in S_i$，即我们最终会将$S_i$所有其他元素累和到原序列位置为$p_i$的元素上 求最多划分出多少集合

朴素的想法是将所有限制全部装进$DP$里面，即设$f_{i,j,k}$表示当前考虑了编号为$i$的数集，最后一个划分出的集合对应的$p$的最小值为$j$,且总和为$k$时，最多划分出多少集合

转移根据实际意义显然

这样复杂度太大了 因为我们把值域装了进去 考虑如何把值域去掉

由于若$k>k^{{}^{\prime }}$且$f_{i,j,k}\le f_{i,j,k^{{}^{\prime }}}$则前者显然无用

这说明对于相同的$f_{i,j,k}$，仅有最小的$k$有用

根据这一性质，我们尝试忽略无用状态，交换$DP$的某一维度和值域

这意味着，我们设$f_{i,j,k}$表示当处于上述意义下的$i,j$以及集合个数为$k$时，最后一个集合的和的最小值

转移即在$i$这一维枚举子集，同时枚举$j,k$

转移条件有三个：

1. ${\sum }_{p\in S}{a}_p>f_{i,j,k}$
2. $\exists p\in S\text{s.t.}p>j$ 设$p_{min}$为最小的这样的$p$
3. $i\cap S=\varnothing$

则$f_{i,j,k}$可以转移到$f_{i\cup S,p_{min},k+1}$，并令后者对${\sum }_{p\in S}{a}_p$取$min$

容易发现 时间复杂度为$\mathcal{O}(3^n{n}^2)$

由于不合法状态较多 故$✓$

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 16;
struct dat {int msk, num, pos;} tr[1 << N][N][N];
int T, n, a[N], ban[N], s[1 << N], f[1 << N][N][N];
vector <pair <int, int>> ans;
int find(int x) {
	int rnk = 1;
	for(int i = 1; i < x; i++) if(!ban[i]) rnk++;
	return rnk;
}
void calc(int msk, int num, int pos) {
	if(!msk) return;
	dat t = tr[msk][num][pos];
	calc(t.msk, t.num, t.pos);
	for(int i = 0; i < n; i++)
		if(msk - t.msk >> i & 1 && i != pos - 1)
			ans.push_back({i + 1, pos});
}
void solve() {
	cin >> n, ans.clear();
	for(int i = 0; i < n; i++) cin >> a[i];
	for(int i = 0; i < 1 << n; i++)
		for(int j = 0; j <= n; j++)
			for(int k = 0; k <= n; k++)
				f[i][j][k] = 1e9;
	f[0][0][0] = 0;
	for(int i = 1; i < 1 << n; i++)
		for(int j = 0; j < n; j++)
			if(i >> j & 1)
				s[i] = s[i - (1 << j)] + a[j];
	for(int i = 0; i < 1 << n; i++)
		for(int j = 0; j < n; j++)
			for(int k = 0; k < n; k++)
				if(f[i][j][k] < 1e9) {
					int C = (1 << n) - 1 - i;
					for(int S = C; S; S = (S - 1) & C)
						if(s[S] > f[i][j][k] && S >> k) {
							int nk = __builtin_ctz(S >> k << k) + 1;
							if(s[S] >= f[i + S][j + 1][nk]) continue;
							f[i + S][j + 1][nk] = s[S];
							tr[i + S][j + 1][nk] = {i, j, k};
						}
				}
	for(int num = n; num; num--)
		for(int pos = 0; pos <= n; pos++)
			if(f[(1 << n) - 1][num][pos] != 1e9) {
				calc((1 << n) - 1, num, pos);
				cout << ans.size() << endl;
				memset(ban, 0, sizeof(ban));
				for(auto it : ans) {
					cout << find(it.first) << " " << find(it.second) << endl;
					ban[it.first] = 1;
				}
				return;
			}
}
int main() {
	cin >> T;
	while(T--) solve();
	return 0;
}