最小费用最大流算法详解-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/lizhiwei2017/article/details/79856306

本文详细介绍了最小费用最大流算法的基本原理与实现过程。通过SPFA算法优化寻找最短路径，确保每次增广路径成本最低，直至达到最大流状态。文章提供了完整的C++代码示例，帮助读者深入理解该算法。

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题目链接：最小费用最大流（模板题）

dis最小花费;

pre每个点的前驱；

last每个点的所连的前一条边；

flow源点到此处的流量

思路：

给出一个容量网络，那他的最大流一定是一个定值（即使是有多个一样的最大值）。所以我们从开始的可行流开始增广时，最终的增广量是一定的。所以为了满足最小费用我们只需要每次找最小费用的增广路即可，直到流量为最大值。这个问题仅仅是在求增广路时先考虑费用最小的增广路，其他思想和EK思想一样。

我们学过SPFA求最短路算法（bellman-ford的队列优化），所以我们将弧的费用看做是路径长度，即可转化为求最短路的问题了。只需要所走的最短路满足两个条件即可：1可增广cap> flow,2路径变短d[v]>d[u]+cost< u,v> 。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
using namespace std;
#define maxn 100010
struct Node{
	int ne;
	int to;
	int w; // 流量 
	int co;//花费 
}e[maxn];
int head[maxn],cnt;
bool vis[maxn];
int n,m,s,t,x,y,z,f,dis[maxn],pre[maxn],last[maxn],flow[maxn],maxflow,mincost;
queue<int>q;
void add(int u,int v,int val,int co)
{
	e[cnt].to = v;
	e[cnt].ne = head[u];
	e[cnt].w = val;
	e[cnt].co = co;
	head[u] = cnt ++;
}
bool spfa(int s,int t)
{
	memset(dis,0x7f,sizeof(dis));
	memset(flow,0x7f,sizeof(flow));
	memset(vis,0,sizeof(vis));
	q.push(s);
	vis[s] = 1;
	dis[s] = 0;
	pre[t] = -1;
	while(!q.empty())
	{
		int now = q.front();
		q.pop();
		vis[now] = 0;
		for(int i=head[now];~i;i=e[i].ne)
		{
			int k =e[i].to; 
			if(e[i].w > 0 && dis[k] > dis[now]+e[i].co)
			{
				dis[k] = dis[now] + e[i].co; // 更新一下最小花费
				pre[k] = now; // 记录前驱
				last[k] = i; //与 k 相连的前一条边
				flow[k] = min(flow[now],e[i].w);
				if(!vis[k])
				{
					vis[k] = 1;
					q.push(k);
				}
			}
		}
	}
	return pre[t] != -1;// 判断能否达到汇点
}
void MCMF()
{
	while(spfa(s,t))
	{
		int now = t;
		maxflow += flow[t];
		mincost += flow[t]*dis[t];
		while(now!=s)
		{
			e[last[now]].w -= flow[t];
			e[last[now]^1].w += flow[t];
			now = pre[now];
		}
	}
}
int main()
{
	memset(head,-1,sizeof(head));
	cnt = 0;
	scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&s,&t);
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		scanf("%d%d%d%d",&x,&y,&z,&f);
		add(x,y,z,f);
		add(y,x,0,-f);
	}
	MCMF();
	printf("%d %d\n",maxflow,mincost);
	return 0;
}

脑阔疼！！！