位运算

1.绝对值

给出两种算法

a).n < 0时，~(n - 1)；n >= 0 时，等于本身。

b).(n ^ (n >> 31)) - (n >> 31) ，设一个 int 为 32 位。

解释如下：

a).由于负数的补码等于除符号位之外的所有位取反后再加1，由于计算机内存中参与运算的负数都是补码形式，因此，为了求负数 n 的绝对值，需要先减1，再按位取反刚好是负数的绝对值（符号位1刚好也取反，变成0，表示正数，因此刚好是所求）。

b).

首先. n < 0时，设 n 的补码是 N，在计算机内存里原式为 (N ^ (N >> 31) - (N >> 31)) ，N >> 31 等于 -1，因为 >> 是带符号的位移，即移位时，符号位一直不变。而 -1 的补码是 2 ^ 31 - 1 = 0xFFFF，所以 N ^ ( -1 ) 相当于按位取反。后面的减负 1 即是加1.所以，当 n < 0 时，n 的绝对值为 ~(n) + 1。

与 a) 式联立有 ：~(N - 1) = ~(N) + 1，那么，这个式子是不是成立的呢？

证明：不论 N 是否小于 0，总有 ~(N - 1) = ~(N) + 1。

证：

由于 ~(x) + x = ~(0)对于所有 x 是成立的,因此 ~(x) = ~(0) - x，~(x - 1) = ~(0) - x + 1，故 ~(N - 1) = ~(0) - N + 1 = (~(0) - N) + 1 = ~(N) + 1

即原式得证

故一个负数 n 的绝对值是 ~(n) + 1 是正确的

再者. n >= 0 时，n >> 31 为 0，所以上式的结果还是 n。一个正数的绝对值是本身，是正确的。

因此，b) 命题得证。

2.补码本质

想像一个钟表有 N 格，上面每格依次标记为 0 ~ N - 1，顺时间方向走 x 格，等价于逆时钟走 N - x 格。即 x 的补码是 N - x。

可参照我的另一篇文章《补码的实质》。

3.判断 n 是不是2的幂

0 == n & (n - 1)

4.相反数

我们在第一个命题中已经证明 ：当 n < 0 时，n 的绝对值为 ~(n) + 1，也即 n < 0 时，n 的相反数是 ~(n) + 1；

当 n > 0 时，求其相反数就是求 - n 的补码，要把 -n 的各位除符号位外取反，再加 1，也即 ~(-n除符号位外) + 1，而此式刚好就等于 ~(n) + 1，刚好把符号位变为 1，所以刚好是所求。

即 n 的相反数是 ~(n) + 1

5.最大值，最小值

max(a,b) = a & ((b - a) >> 31) | (b & (~(b - a)) >> 31) //注意 | 后面的一项不能写为 b & ((a - b) >> 31)，考虑到 a == b 的情况，这样写是错误的。

min(a, b) = a & ((a - b) >> 31) | (b & (~(a - b)) >> 31)

或者 

min(a,b) = a ^ ((a ^ b)  & -(a < b)) 

解释：当 b >= a 时，-(a - b) 为 0 ，整个结果为 a；当 a > b 时，-(a < b) 为 -1 ，任何数与 -1 相与结果不变，所以，整个结果为 a ^ a ^ b 为 b.

6. n & (n - 1) 令 n 中的 1 减少一个

如二进制 1010，进行运算 1010 & (1010 - 1) = 1 000，原来的二进制数中有两个 1，现在只有一个 1了。

证明：

设 

N - 1 可以理解为 N 的最低位的一个 1 拿来减 1，那么这个位前面所有的位都保持不变，设最后一个 1 位为第 m 位，设这个位前面所有位构成的数字为 M，则

作图 1 并给出证明如下：

图 1 n & (n-1) 比 n 少一个 1

有了这个结论之后，就可以用来计算一个整数中，有多少个 1.给出代码如下：

int count1(int n)
{
    int ncount = 0;
    for(; n ;++ ncount)
    {
        n &= (n - 1);//每次都减少一个1，直到 n 中没有1
    }
    return ncount;
}