醉汉看守

醉汉看守是这样的一个问题：有N个上了锁的牢记。看守要喝N杯威士忌，每喝一杯他就执行一个这样的操作：按规则 R 遍历所有的牢房，如果门是开着的就锁上，如果门是锁着的就打开。遍历规则 R 是：喝第 i 杯威士忌时，仅遍历 i , 2*i , 3 * i , .... 牢房。问，在他喝完N杯威士忌后，有多少个牢房是开着的？

模拟这个过程就是，第一次喝酒后，所有牢房都开了；第二次喝酒后，2，4，6，8，10...牢房与上一次相反，其它牢房维持上一次状态；第三次喝酒后，3，6，9牢房与上一次相反，其它牢房维持一致；........

每一个牢房在N次操作后是否开着，取决于它所有小于N的因子（包括1和自身）的个数，若个数为奇数，则它与初始状态相反，即开着，如果个数为偶数，则它与初始状态相同，即关着。

每一个数字存在一个因子，必有另一个因子，即因子的出现总是成对的。只有一个数字为平方数时才不是成对出现的，因为两个因子都是它，所以只能算一个。将这个结论运用到上面的模型中就是，对于编号为 i 的牢房，在第 q 次操作时会遍历到它，这个 q 是 i 的因子。设 i = p * q，则不仅第 q 次操作会遍历到 i 号牢房，而且第 p 次操作也会遍历到 i 号牢房，这两次操作的作用被抵消了（关关为开，开开为关）。而若 i 还存在一对相同的因子a，即 i = a * a，则第 a 次操作会改变 i 号牢房，而且只会被改变一次！

所以，问题转化为，找出比 N 小的所有正整数里面平方数的个数即可。使用 floor(sqrt(N))即能得到结果。

普通的解法是维护一个 N 维的数组，0表示关，1表示开，有两层循环来模拟醉汉模型即可得出最终结果，核心循环为：

int state[N] ;

memset(state,0,N);

for(int i = 0;i < N;i ++)

{

for (int j = i;j < N;j += j)

{

 state[j]  = 1 - state[j];

}

}