二、线性回归

说在最前面，这门课将要学什么

我们开始吧！！！

1 符号定义

m：训练集的样本个数
x’s：输入变量/特征
y’s：输出变量/特征
(x, y)：一个训练样本
(x⁽ⁱ⁾, y⁽ⁱ⁾)：第i个训练样本
h：假设函数，h maps from x’s to y’s
= 表示判断
:= 表示赋值

2 代价函数的定义

我们要做regression，那么应该最小化平均误差值，即优化函数为：

所以我们定义代价函数J(θ₀, θ₁)为：
注意：J是θ的函数

3 代价函数的作用

假设我们需要拟合的数据为房屋面积与房价，做一次线性回归：

则针对不同的θ₀, θ₁，有不同的代价函数值，J(θ₀, θ₁)为三维空间中的一个曲面：

转化为等高线图：

故更好的假设函数的参数θ₀, θ₁对应更小的假设代价函数值，直观上看就是寻找J(θ₀, θ₁)在空间中的最低点。

4 梯度下降

4.1算法描述：

α：学习率
注意：θ₀, θ₁要同步更新左下为正确的更新步骤，右下为不正确的更新步骤：

4.2 学习率的理解：

令自变量向着令因变量（代价函数）减小的方向变化，而每次变化的幅度大小由学习率和当前位置的偏导数确定。

• 如果α太小：梯度下降会太慢
• 如果α太大：很可能越过最低点，甚至无法收敛或者发散

如果处于局部最低点，则梯度下降结束。但是线性回归的代价函数没有局部极小值，总是一个碗状的函数（凸函数）。
注意：我们每一步得到更新都用到了训练集中所有样本的偏导数，这又称为“Bach”梯度下降
以后的课程中会使用normal equations methods 来求代价函数J的最小值，不需要用迭代即可。