数据结构（十五）最小生成树

最小生成树问题

1. 什么是最小生成树

• 是一棵树
  • 无回路
  • |V|个顶点一定有 |V|-1 条边
• 是生成树
  • 不唯一
  • 包含全部顶点
  • |V|-1 条边都在图里
• 边的权值和最小

2. 贪心算法

• 什么是 “贪”：每一步都是最好的
• 什么是 “好”：权重最小的边
• 需要约束：
  • 只能用图里有的边
  • 只能正好用掉 |V|-1 条边
  • 不能有回路

1. Prim 算法

void Prim(){
   
   
    MST = {
   
   s};  // parent[s] = -1
    while(1){
   
   
        V = 未收录顶点中dist最小者;   // dist[V] = E<V,W> 或 正无穷
        if ( 这样的V不存在 )
            break;
        dist[V] = 0;  // 将V收录进MST
        for ( V 的每个邻接点 W )
            if ( dist[W]!= 0)
                if ( E<V,W> < dist[w] ){
   
   
                    dist[W] = E<V,W>;
                    parent[W] = V;
                }
    }
    if ( MST 中收的顶点不到|V|个)
        Error ( "图不连通" );
}

时间复杂度：T = O(|V|${}^2$) —— 稠密图合算

#include<iostream>
#include<vector>
#define INF 100000
#define MaxVertex 105
typedef int Vertex; 
int G[MaxVertex][MaxVertex];
int parent[MaxVertex];   // 并查集 
int dist[MaxVertex]; // 距离 
int Nv;    // 结点 
int Ne;    // 边 
int sum;  // 权重和 
using namespace std; 
vector<Vertex> MST;  // 最小生成树 

// 初始化图信息 
void build(){
   
   
	Vertex v1,v2;
	int w;
	cin>>Nv>>Ne;
	for(int i=1;i<=Nv;i++){
   
   
		for(int j=1;