幂取模【快速幂】

最新推荐文章于 2025-12-03 17:03:32 发布

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#算法 #c++ #开发语言

文章介绍了快速幂算法，这是一种用于高效计算大数次幂的方法，其时间复杂度为O(logN)，显著优于朴素的O(N)方法。通过举例和代码展示，解释了快速幂如何通过位运算减少计算次数，包括在模运算环境下的应用。

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幂取模

题目描述

输入正整数a、n和m，输出 $a^{n}$ $m o d$ $m$ 的值。
范围： $a,n,m<=10^9$

输入描述

输入正整数a、n和m

输出描述

输出 $a^{n}$ $m o d$ $m$

样例

输入

1 2 3

输出

1

解析

这道题明显是一道快速幂的题目，那么要点就来了：
什么是快速幂呢？
顾名思义，快速幂就是快速算底数的n次幂。其时间复杂度为 $O$ ( $log_2{N}$ )，与朴素的 $O$ ( $N$ )相比效率有了极大的提高。
快速幂的实现思想可以用一个例子来说明:

$2^{100}$ 的快速幂
2的100次幂
只要为1的位我们就让它自增一位即可

AC代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
//快速幂函数（含题目的取余）
long long qpow(long long a, long long n, long long m) {
	long long ans = 1;
	while (n) {
		//如果二进制位为1则自增
		if (n % 2 == 1) {
			ans = (ans * a) % m;
		}
		a = (a * a) % m;  //a自增
		n >>= 1;  //n除以2（位运算）
	}
	return ans;
}
//朴素的主函数
int main() {
	long long a, n, m;
	scanf("%lld%lld%lld", &a, &n, &m);
	long long ans = qpow(a, n, m);
	printf("%lld", ans);
	return 0;
}

附：快速幂函数

long long qpow(long long a, long long n) {
	long long ans = 1;
	while (n) {
		if (n % 2 == 1) {
			ans *= a;
		}
		a *= a;
		n >>= 1;
	}
	return ans;
}