机器学习之回归算法

回归算法是机器学习中最常见也是使用最广的一个算法，回归算法主要有线性回归和逻辑回归2种。下面我将分别介绍线性回归和逻辑回归。

1线性回归

    线性回归是有监督学习的一种算法，科学的介绍这里就不做说明了。通俗的说，就是根据数据集中的特征（X），找到一个合适的线或是面。。来拟合我们的数据集标签（Y）。

    假设我们有一个简单的数据集，里面每个样本都有2个特征，我们根据线性回归算法，找到一个平面来拟合这个数据集中的标签。如下的方程

    

也可以将方程转化成矩阵形式

    

而我们要做的就是找到里面的权重值 θ，使得对于每个样本

中ε（误差）值最小。

重点来了~~我们这里的误差是相对独立的而且具有相同的分布，服从均值为0方差为σ2的高斯分布！！！

所以我们将误差ε  带入高斯函数

这里我们要使用似然函数，来找到这些参数，使得跟我们的数据组合后恰好是真实值的最大可能性。

加入似然函数后如下

因为是一个连乘的结构，不好计算，我们在式子两边去对数，在不改变性质的情况下简化计算。

简化展开后如下

我们要使得上面的式子最大，则需要这式子最小。

最终，我们找到了一个损失函数，

   

这个函数也叫最小二乘法。

以上的推导就是线性回归这个损失函数的由来。

接下来我们要做的就是采用梯度下降法，迭代计算得到最终我们需要的一组θ。。。。

后续的具体方法比如采用什么样的梯度下降法（批量梯度下降，随机梯度下降，小批量梯度下降）

以及学习率的选择，（这里不详细介绍机器学习里面的基本知识。）这里不做介绍。

2 逻辑回归

    逻辑回归是经典的二分类算法。

这我们也是介绍逻辑回归损失函数的推导

首先一个就是sigmoid函数

这个函数的作用说白了就是将线性值映射成概率值

因此，我们的预测函数为

在分类任务中如果

那么

对于二分类任务，预测结果不是0，就是1.因此有最后的整合函数

同样的我们采用似然函数

还是对两边取对数

此时是获取最大值，我们引入

，使得获取最大值的结果变成获取最小值

紧接着，就是对其求导，

最终简化的结果为

最后还是进行常规的参数迭代更新。

这里就不做详细介绍了

下面，我们用python实现一个   基于梯度下降的逻辑回归实例

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我们将建立一个逻辑回归模型来预测一个学生是否被大学录取。假设你是一个大学系的管理员，你想根据两次考试的结果来决定每个申请人的录取机会。你有以前的申请人的历史数据，你可以用它作为逻辑回归的训练集。对于每一个培训例子，你有两个考试的申请人的分数和录取决定。为了做到这一点，我们将建立一个分类模型，根据考试成绩估计入学概率。

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt

path = 'H:\data\LogiReg_data.txt'
pdData = pd.read_csv(path, header=None, names=['Exam 1', 'Exam 2', 'Admitted'])#导入数据
pdData.head()

#数据显示
positive = pdData[pdData['Admitted'] == 1] # returns the subset of rows such Admitted = 1, i.e. the set of *positive* examples
negative = pdData[pdData['Admitted'] == 0] # returns the subset of rows such Admitted = 0, i.e. the set of *negative* examples
fig, ax = plt.subplots(figsize=(10,5))
ax.scatter(positive['Exam 1'], positive['Exam 2'], s=30, c='g', marker='o', label='Admitted')
ax.scatter(negative['Exam 1'], negative['Exam 2'], s=30, c='r', marker='x', label='Not Admitted')
ax.legend()
ax.set_xlabel('Exam 1 Score')
ax.set_ylabel('Exam 2 Score')

要完成的模块

• sigmoid : 映射到概率的函数

• model : 返回预测结果值

• cost : 根据参数计算损失

• gradient : 计算每个参数的梯度方向

• descent : 进行参数更新

• accuracy: 计算精度

sigmoid 函数

    

def sigmoid(z):
    return 1 / (1 + np.exp(-z))

def model(X, theta):
    return sigmoid(np.dot(X, theta.T))

#向元数据插入一列全1
pdData.insert(0, 'Ones', 1) # in a try / except structure so as not to return an error if the block si executed several times

#创建权重值
theta = np.zeros([1, 3])

损失函数

def cost(X, y, theta):
    left = np.multiply(-y, np.log(model(X, theta)))
    right = np.multiply(1 - y, np.log(1 - model(X, theta)))
    return np.sum(left - right) / (len(X))

可以先计算一次

cost(X, y, theta)

0.6931471805599453

计算梯度

def gradient(X, y, theta):
    grad = np.zeros(theta.shape)
    error = (model(X, theta)- y).ravel()
    for j in range(len(theta.ravel())): #for each parmeter
        term = np.multiply(error, X[:,j])
        grad[0, j] = np.sum(term) / len(X)
    
    return grad

Gradient descent

比较3中不同梯度下降方法

STOP_ITER = 0 #按次数停止
STOP_COST = 1 #按损失值停止
STOP_GRAD = 2 #按梯度值停止

def stopCriterion(type, value, threshold):
    #设定三种不同的停止策略
    if type == STOP_ITER:        return value > threshold
    elif type == STOP_COST:      return abs(value[-1]-value[-2]) < threshold
    elif type == STOP_GRAD:      return np.linalg.norm(value) < threshold

import numpy.random
#洗牌
def shuffleData(data):
    np.random.shuffle(data)
    cols = data.shape[1]
    X = data[:, 0:cols-1]
    y = data[:, cols-1:]
    return X, y

import time

def descent(data, theta, batchSize, stopType, thresh, alpha):
    #梯度下降求解
    
    init_time = time.time()
    i = 0 # 迭代次数
    k = 0 # batch
    X, y = shuffleData(data)
    grad = np.zeros(theta.shape) # 计算的梯度
    costs = [cost(X, y, theta)] # 损失值

    
    while True:
        grad = gradient(X[k:k+batchSize], y[k:k+batchSize], theta)
        k += batchSize #取batch数量个数据

        if k >= n: 
            k = 0 
            X, y = shuffleData(data) #重新洗牌
        theta = theta - alpha*grad # 参数更新
        costs.append(cost(X, y, theta)) # 计算新的损失
        i += 1 

        if stopType == STOP_ITER:       value = i
        elif stopType == STOP_COST:     value = costs
        elif stopType == STOP_GRAD:     value = grad
        if stopCriterion(stopType, value, thresh): break
    
    return theta, i-1, costs, grad, time.time() - init_time

def runExpe(data, theta, batchSize, stopType, thresh, alpha):
    #import pdb; pdb.set_trace();
    theta, iter, costs, grad, dur = descent(data, theta, batchSize, stopType, thresh, alpha)
    name = "Original" if (data[:,1]>2).sum() > 1 else "Scaled"
    name += " data - learning rate: {} - ".format(alpha)
    if batchSize==n: strDescType = "Gradient"
    elif batchSize==1:  strDescType = "Stochastic"
    else: strDescType = "Mini-batch ({})".format(batchSize)
    name += strDescType + " descent - Stop: "
    if stopType == STOP_ITER: strStop = "{} iterations".format(thresh)
    elif stopType == STOP_COST: strStop = "costs change < {}".format(thresh)
    else: strStop = "gradient norm < {}".format(thresh)
    name += strStop
    print ("***{}\nTheta: {} - Iter: {} - Last cost: {:03.2f} - Duration: {:03.2f}s".format(
        name, theta, iter, costs[-1], dur))
    fig, ax = plt.subplots(figsize=(12,4))
    ax.plot(np.arange(len(costs)), costs, 'r')
    ax.set_xlabel('Iterations')
    ax.set_ylabel('Cost')
    ax.set_title(name.upper() + ' - Error vs. Iteration')
    return theta

不同的停止策略

设定迭代次数

#选择的梯度下降方法是基于所有样本的
n=100
runExpe(orig_data, theta, n, STOP_ITER, thresh=5000, alpha=0.000001)

根据损失值停止

runExpe(orig_data, theta, n, STOP_COST, thresh=0.000001, alpha=0.001)

根据梯度变化停止

runExpe(orig_data, theta, n, STOP_GRAD, thresh=0.05, alpha=0.001)

对比不同的梯度下降方法

Stochastic descent 随机梯度下降

runExpe(orig_data, theta, 1, STOP_ITER, thresh=5000, alpha=0.001)

降低学习率减小梯度爆炸

runExpe(orig_data, theta, 1, STOP_ITER, thresh=15000, alpha=0.000002)

Mini-batch descent 小批量梯度下降

runExpe(orig_data, theta, 16, STOP_ITER, thresh=15000, alpha=0.001)

浮动仍然比较大，我们来尝试下对数据进行标准化 将数据按其属性(按列进行)减去其均值，然后除以其方差。最后得到的结果是，对每个属性/每列来说所有数据都聚集在0附近，方差值为1

from sklearn import preprocessing as pp

scaled_data = orig_data.copy()
scaled_data[:, 1:3] = pp.scale(orig_data[:, 1:3])

runExpe(scaled_data, theta, n, STOP_ITER, thresh=5000, alpha=0.001)

精度

#设定阈值
def predict(X, theta):
    return [1 if x >= 0.5 else 0 for x in model(X, theta)]

scaled_X = scaled_data[:, :3]
y = scaled_data[:, 3]
predictions = predict(scaled_X, theta)
correct = [1 if ((a == 1 and b == 1) or (a == 0 and b == 0)) else 0 for (a, b) in zip(predictions, y)]
accuracy = (sum(map(int, correct)) % len(correct))
print ('accuracy = {0}%'.format(accuracy))

补充。上例中用到的数据集下载请点击连接  数据集

至此，简单的介绍了机器学习中的回归算法。这里我只是针对那些我学习中容易出错或是不太理解的地方进行说明。并不是针对这个算法进行详细的解释。如果对于这个算法一点都不了解的，建议先补充相关的知识。