[luogu8352] [SDOI2022 d2t1] 小N的独立集 - 计数 - dp套dp

最新推荐文章于 2022-08-06 15:08:47 发布

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#算法 #c++ #动态规划

本文详细介绍了如何解决树上最大权独立集的计数问题，通过dp套dp的方法优化状态，将状态数从O(nk^2)降低到O(n^2k^2)，并给出了转移方程，最终实现O(n^2k^4)的时间复杂度解决方案。文章适合对算法和数据结构有一定基础的读者，深入理解树上背包的应用。

传送门：P8352 [SDOI/SXOI2022] 小 N 的独立集
题目大意：给定一棵 $n$ 个点的树，每个点的权值在 $1\sim k$ 之间，问有多少种权值的方案使得整棵树的最大权独立集大小为 $m$ ，对 $m=1\sim nk$ 分别求解。
因为是全场最简单（果然以我的水平只能出得出来这种送分题了吗），废话不多说直接上题解。
我们都知道树上最大权独立集的求法： $f [x] [0 / 1]$ 表示以 $x$ 为根的子树，根是否被选择的答案。
而这里的问题是计数，因此需要dp套dp：设 $g [x] [p] [q]$ 表示以 $x$ 为根的子树， $f [x] [0] = p$ ， $f [x] [1] = q$ 的方案数。
当然这样状态数直接爆炸了： $p$ 和 $q$ 都是 $O (n k)$ 级别，状态数直接达到立方。我们先优化状态。
注意到最大权独立集的dp其实还有另一种写法： $f [x] [0 / 1]$ 表示以 $x$ 为根的子树， 根是否必须不选 的答案。容易观察到必然有 $\leq f[x][0] \leq f[x][1] + k$