数据结构之第二章 算法分析总结 及 课后题答案

数据结构之第一章 引论 及 课后题答案

本章主要是学会对程序时间复杂度的计算分析方法，基于这个目的，需要掌握数学基础、模型等知识点，所以本章的课程结构如下：

• 数学基础
• 模型
• 要分析的问题

• 运行时间计算

  下面逐一对其进行总结分析。

  数学基础

  需要记住四个定义：

 - T(N) = O(f(N))  意思是，T(N)函数的增长率小于等于f(N).如 N=O(N^2)
 - T(N) = Ω（f(N)） 意思是，T(N)函数的增长率大于等于f(N).如 N^2=Ω(f(N))
 - T(N) = Θ(f(N)) 意思是，T(N)函数的增长率等于f(N)的增长率，如 N = Θ(2N)
 - T(N) = o(f(N))  意思是，T(N)函数的增长率小于f(N),不包括等于. 
上面公式定义中，常用的是第一个。此外，还需要记住几个法则：
 - T1(N)=O(f(N)) 且 T2(N)=O(g(N)),那么：
   T1(N)+T2(N) = max(O(f(N)), O(g(N)))
   T1(N)*T2(N) = O(f(N)*g(N))
   exp:
   N=O(N^2) N^3=O(N^4) ==> N+N^3=max(O(N^2), O(N^4))=O(N^4).
   N=O(N^2) N^3=O(N^4) ==> N*N^3=O(N^2*N^4)=O(N^6)
 - T(N)是一个k次多项式，则T(N)=Θ(N^k). 
   exp:
   1+N^2+N^3 = Θ(N^3).即左侧的函数增长率与N^3函数的增长率相同。
 - 对数函数的增长率缓慢，其次是线性。

模型

略

要分析的问题

1. 最大子序列和
给定A1,A2,A3,….An，求其连续子序列的最大和。所谓子序列，是指在这N个数中的连续的子项组成的集合。比如（A1,A2）,(A2,A3,A4),(A1,A2,A3)等，但是(A1,A3)则不属于本文中的子序列概念，因为其下标是不连续的。书中给出了四种解决方案，下面逐一分析。

• 求出所有连续的子序列，逐一求解每个序列的和，然后再取最大的。

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int maxSubSum1( const vector<int> &a )  
{   
    int maxSum = 0;  
    for(int i=0; i<a.size(); i++ )  //i代表了序列的起始元素下标
    {   
        for(int j=i; j<a.size(); j++ )  //j代表了序列的结束元素下标
        {   
            int thisSum =0;  
            for( int k=i; k<=j; k++ )  //代表了序列中间的元素下标，逐一遍历即取到子序列的所有元素
            {   
                thisSum += a[k];  
                cout<<a[k]<<" "<<flush;
            }  
            cout<<endl;
            if(thisSum>maxSum)  
            {   
                maxSum = thisSum;  
            }  
        }  
    }  
    return maxSum;  
}

该方法比较直观，看代码中的注释，明白计数器的含义，就很简单了。但是该方法循环三次，复杂度是O（N^3）。一般的复杂度法则如下：

一次for循环的复杂度为O(N)
嵌套for循环则为O(N^k)
顺序执行的运行时间即逐句求和即可。复杂度应该如何表示呢？

• 降低复杂度O（N^2)的实现

int maxSubSum2(const vector<int> &a)
{
    int maxSum = 0;
    for (int i=0;i<a.size();i++)
    {
        int thisSum=0;
        for (int j=i; j<a.size();j++)
        {
            thisSum += a[j];
            if (thisSum>maxSum)
            {
                maxSum = thisSum;
            }
        }
    }
}

其实没看懂为什么会这样
- 线性复杂度

int maxSubSum3(const vector<int> &a, int left, int right)
{
    int maxSum = 0;int thisSum=0;
    for (int i=left;i<right;i++)
    {
        thisSum+=a[i];
        if (thisSum>maxSum)
        {
            maxSum = thisSum;
        }else if(thisSum<0)
        {
            thisSum = 0;
        }
    }
    return maxSum;
}

也是看不懂，就记住吧。

课后题答案