P4956 [COCI2017-2018#6] Davor

题面翻译

Davor 需要一共筹集 $n$ 元钱。他打算在每个星期一筹集 $x$ 元，星期二筹集 $x+k$ 元，……，星期日筹集 $x+6k$ 元，并连续筹集 $52$ 个星期。其中 $x,k$ 为正整数，并且满足 $1\le x\le 100$。

现在请你帮忙计算 $x,k$ 为多少时，能刚好筹集 $n$ 元。

如果有多个答案，输出 $x$ 尽可能大，$k$ 尽可能小的。注意 $k$ 必须大于 $0$。

输入格式

一个正整数n (1456 ≤ ​n​ ≤ 145600)。

输出格式

第1行是x (​0 < x ​≤ 100 ​)​, 第2行是k (k ​> 0 ​)。

样例输入

1456

样例输出

1
1

样例输入

6188

样例输出

14
1

样例输入

40404

样例输出

99
4

思路分析+参考代码
根据题意，Davor星期一筹集 x 元，星期二筹集 x+k 元，……，星期日筹集 x+6k元，连续筹集 52个星期。
一个星期筹集的钱数是：
$x+(x+k)+(x+2\times k)+(x+3\times k)+(x+4\times k)+(x+5\times k)+(x+6\times k)$
$=7\times x+21\times k=7\times (x+3\times k)$
52个星期筹集的钱数就是：
$52\times 7\times (x+3\times k)$
也就是说，$52\times 7\times (x+3\times k)$等于$n$ 。两边同时除以 $(52\times 7)$，得到，
$x+3\times k=n÷52÷7$。

数据范围上，x,k为正整数，并且满足 1≤x≤100。
一种解法就是，从100到1遍历x，如果k是正整数，就是我们要的结果。

#include<iostream>
using namespace std;
int main(){
	//x+3×k=n÷52÷7
	int n;
	cin >> n;
	n = n/52/7; //得到等号右边
	for(int x=100; x>=1; x--)
	{
		int t = n-x;
		//t/3就是k
		if(t%3==0 && t/3>0) //找到一个k,输出并结束程序
		{
			cout << x << endl;
			cout << t/3 << endl;
			return 0;
		}	
	}	
	return 0;
}

当然，我们也可以从数学的角度思考。
$x+3\times k=n÷52÷7$
为了方便分析，我们用$N$代替$n÷52÷7$
本题的答案要求，输出 $x$ 尽可能大，$k$ 尽可能小的。
如果没有条件$1\le x\le 100$，那么k一定是1， $x=N-3$
所以，当$N\le 103$时, 答案一定是 $k=1$, $x=N-3$ 。
当$N>103$时, 需要分情况讨论。如果 N 是 3 的倍数，由 $x=N-3\times k$ 得 x 为 3 的倍数，最大为 99。
同理，如果$N\%3$ 余 1 ，那么 $x\%3$ 也余 1 ，最大为 $x=100$; 如果$N\%3$ 余 2 ，那么 $x\%3$ 也余 2 ，最大为 $x=98$。
k 也就是 $(N-x)÷3$。
参考代码

#include<iostream>
using namespace std;
int main() {
	//x+3×k=n÷52÷7
	int n;
	cin >> n;
	n = n / 52 / 7; //得到等号右边
	if (n <= 103) {
		cout << n - 3 << endl;
		cout << 1 << endl;
	} else {
		int x;
		if (n % 3 == 0) x = 99;
		else if (n % 3 == 1)x = 100;
		else x = 98;
		cout << x << endl;
		cout << (n - x) / 3 << endl;
	}
	return 0;
}