【通信原理笔记】【一】确定信号分析——1.4 信号的功率谱与能量谱

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前言

上一篇我们学习了信号的功率与能量，现在我们继续深入，探讨一下信号的功率和能量在频域上的分布。

注：由于信号能量与功率的推导方法是完全类似的，为了方便，之后讨论时均以信号能量相关的推导为主。

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一、功率谱与能量谱

1. 从频域求能量说起

首先让我们回顾一下帕斯瓦尔定理给出的一个结论——时域求能量等于频域求能量，也就是如下公式

$\int |x(t){|}^{2}dt=\int |X(f){|}^{2}df$

让我们从积分的意义的角度来分析一下这个公式：既然积分的结果是能量，那么$|X(f){|}^{2}df$就是$df$范围内的能量，那么$|X(f){|}^2$不就是能量在这个范围内分布的密度吗？没错，$|X(f){|}^2$就被定义为信号x(t)的能量谱密度。

类似的可以给出功率谱密度$P_X(f)={\lim }_{W\to +\infty }\frac{1}{W}|X_W(f){|}^2$，其中W为频率窗口。

2. 再聊聊密度

我们很早就从物理中接触过密度这一概念，描述的是物体的质量在体积上的分布情况，只不过那时候我们只学了质量密度以及大多数情况考虑的是密度均匀。而大学阶段我们也学习了其他的密度，比如概率密度，其实所谓的y密度表征的是指y在x上分布的稠密程度的量。比如概率密度指的就是概率在数轴上分布的稠密情况，乘上一个$dx$就是该邻域所代表的随机事件发生的概率。

能量谱密度也是完全一样的概念，只要是密度，都是如此。我们通过对概率密度函数的分析，可以得到很多有效信息，比如简单看出哪一部分区间发生概率较大。对能量谱密度分析也是一样，我们可以知道信号的能量或者功率集中在哪一部分频率区间，就可以做其他的操作如滤波滤除能量较小的旁瓣以节省带宽。

3. 单边能量谱与带宽

3.1 实信号的共轭对称性

实际工程中多是实信号，而实信号的频谱具有幅度谱偶对称，相位谱奇对称的特点。下面我们先来证明一下这个性质，由$x(t)$是实信号有：

$x(t)=x^{\ast }(t)$

那么他们的傅里叶变换得到的频谱也相同，即

X ( f ) = X ∗ ( − f ) X(f)=X^*(-f)