2021-5-18 有限元方法从0开始学习笔记第二天 (一维线性元简介, 与差分格式的联系)_brenner的the mathematical theoryof finite element m-优快云博客

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又是新的一天, 继续开始有限元从0开始学习, 参考资料
Brenner S, Scott R. The mathematical theory of finite element methods[M]. Springer Science & Business Media, 2007.

昨天内容回顾

2021-5-17 有限元方法从0开始学习笔记第一天

利用模型问题, 构造了其变分形式, 并且验证了当 $f$ 和 $u$ 的光滑性足够时, 变分问题能够得到边值问题对古典解.
阐述了 Ritz-Galerkin 框架的逼近过程, 并给出了简单的离散系统的解的存在唯一性的证明.(到后面可以直接使用 Lax-Milgram 定理).
给出了一维模型问题 Ritz-Galerkin 框架下的能量误差以及 $L^{2}$ 范数误差估计的示范.

下面开始今天内容的学习.

0.4 分片多项式空间-有限元方法

前面介绍 Ritz-Galerkin 框架时, 没有给出子空间 $S$ 的具体形式, 实际上对于选取不同的子空间, 可以给出不同的方法(谱方法, 有限元方法) 等, 这里主要考虑有限元方法, 在本章会给出第一个有限元基函数空间, 并且定义简单的插值算子, 以及给出插值误差估计.
继续考虑模型问题
$\begin{cases} -\dfrac{d^{2}u}{dx^{2}} = f \in (0, 1), \\ u(0) = 0, \ u^{'}(1) = 0. \end{cases}.$
对应的弱形式
$\text{find} \ u \in V \ s.t., \ a(u, v) = (f, v) \ \forall v \in V. \ \color{red}{(\text{WP}})$
以及 Ritz-Galerkin 方法的离散问题
$\text{find} \ u_{s} \in S \subset V \ s.t., \ a(u_{s}, v) = (f, v) \ \forall v \in S \subset V. \ \color{red}{(\text{R-G}})$
其中, 空间 $V$ 定义如下:
$H^{1}_{\diamond}(0, 1) = \left\lbrace \left. u \in H^{1}(0, 1) \right| u(0) = 0 \right\rbrace.$
前面只是抽像地给出了问题在子空间 $S$ 下的计算, 下面定义第一个有限元空间:
记 $x_{0} < x_{1} < \cdots < x_{n} = 1$ 为区间 $[0, 1]$ 上的剖分, 定义空间 $S$ 为满足如下条件的函数 $v$ 构成的线性空间:

$\in C^{0}[0, 1]$ ,
$\left. v \right|_{[x_{i-1}, x_{i}]}$ 为线性多项式,
$v (0) = 0$

下面自然的会有两个问题

上面定义的 $S$ 是不是 $V$ 的子空间,
如何找出 $S$ 的基函数, 应该取什么样的基函数,

这里先回答第二个问题, 对于第一个问题留在后面回答.
定义 $S$ 的基函列 $\left\lbrace \phi_{i} \right\rbrace_{i = 1}^{n}$ , 满足 $\phi_{i}(x_{j}) = \delta_{ij}$ , 这个性质称为插值性质.
引理: 满足上面条件的函数序列存在唯一, 并且构成子空间 $S$ 的基.
注1 称上面的 $\left\lbrace \phi_{i} \right\rbrace$ 为空间 $S$ 的节点基函数, 称 $\left\lbrace v(x_{i}) \right\rbrace$ 为函数 $v$ 在节点处的值.
定义对 $\in C^{0}([0, 1])$ , 定义插值算子 $C^{0}([0, 1]) \to S$
$v_{I}(x):= Iv(x) = \sum\limits_{i = 1}^{n} v(x_{i})\phi(x).$
由上面插值算子的定义, 可以知道, 显然 $\phi_{i}$ 可以张成整个空间 $S$ , 根据基函数的插值性质, 容易验证 $\left\lbrace \phi_{i} \right\rbrace_{i=1}^{n}$ 是线性无关的.
引理: 设 $\in S$ , 则 $v_{I} = v$ .
证明, 只要验证 $\forall x \in [0, 1], \ \ v_{I}(x) = v(x)$ 即可.显然, 有
$v_{I}(x_{i-1}) - v(x_{i-1}) = 0 \\ v_{I}(x_{i}) - v(x_{i}) = 0$
注意到 $v_{I}(x), v(x)$ 限制在每个区间上都是分片多项式. 因此 $v_{I}(x) = v(x) \ \text{in} \ [x_{i-1}, x_{i}] \ \forall \ i$ , 从而 $v_{I}(x) = v(x)$ ,
下面给出插值误差在能量范数下的误差估计.
定理: 设 $\max_{1 \leq i \leq n} \left( x_{i} - x_{i-1}\right)$