最佳加法表达式

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本文介绍了一种通过动态规划解决最佳加法表达式问题的方法。该问题要求在给定的数字序列中插入指定数量的加号，以使得最终形成的加法表达式的结果最小。文章提供了详细的算法解释及C++实现代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

最佳加法表达式

题意描述

输入n个数字，给m个加号，将所有加号任意放在n个数字中某位置，要求最终得到的加法表达式的结果最小。

INPUT

4 2
1 2 3 4

OUTPUT

分析

本题使用动态规划，将原问题分解为：求前i个数字中放入m-1个加号的最佳加法表达式的值，再加上最后剩余数字的值。即dp[n][m] = Min{ dp[i][m-1] + Num[i+1][n] }。
问题初始值为不放加号的时候，即dp[i][0] = 0。

code

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;

/* 
*  dp[i][j] 表示前i个数字放入j个加号的最小加法表达式值
*  num[i][j] 表示第i个数字到第j个数字（[i, j]）组成的新数
*  a[i] 存储输入输入的数字
**/

int dp[1000][1000], num[1000][1000], a[1000];

int main() {
    freopen( "input.txt", "r", stdin );
    int n, m;
    while( cin >> n >> m ) {
        memset( num, 0, sizeof( num ) );
        memset( a, 0, sizeof( a ) );

        for( int i = 1; i <= n; i++ ) {
            cin >> a[i];
        }

        /* 初始化dp数组，值为极大的值
        *  因为后续会存储最小值
        **/

        for( int i = 0; i < 1000; i++ ) {
            for( int j = 0; j < 1000; j++ ) {
                dp[i][j] = 99999999;
            }
        }

        /* 预处理得到num数组 */
        for( int i = 1; i <= n; i++ ) {
            num[i][i] = a[i];
            for( int j = i + 1; j <= n; j++ ) {
                num[i][j] = num[i][j-1] * 10 + a[j];
            }
        }

        /* 初始状态，没有加号时 */
        for( int i = 1; i <= n; i++ ) {
            dp[i][0] = num[1][i];
        }

        for( int j = 1; j <= m; j++ ) {  //遍历加号个数
            for( int i = j + 1; i <= n; i++ ) {  //遍历前n个数字，保证数字个数大于加号个数
                for( int k = j; k < i; k++ ) {  //遍历最后一个加号可能的位置，k表示在第k个数后放加号
                    dp[i][j] = min( dp[i][j], dp[k][j-1] + num[k+1][i] );
                }
            }
        }
        cout << dp[n][m] << endl;
    }

    return 0;
}