动态规划小题整理2（最佳加法表达式，Help Jimmy(POJ1661)，滑雪（OpenJudge百练1088））

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一、最佳加法表达式

二、Help Jimmy(POJ1661)

三、滑雪（OpenJudge百练1088）

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一、最佳加法表达式

题意：

有一个由1..9组成的数字串.问如果将m个加 号插入到这个数字串中,在各种可能形成的 表达式中，值最小的那个表达式的值是多少。
 样例输入：

5 3

1 2 3 4 5

输出 ： 

24 

分析： 

假定数字串长度是n，添完加号后,表达式的最后 一个加号添加在第 i 个数字后面，那么整个表达 式的最小值，就等于在前 i 个数字中插入 m – 1 个加号所能形成的最小值，加上第 i + 1到第 n 个数字所组成的数的值（i从1开始算）。

设V(m,n)表示在n个数字中插入m个加号所能形成的表达式最小值，那么：

if    (m = 0) //没有加号

       V(m,n) = n个数字构成的整数

else if (n-1<m)  //加号的个数大于数字空位数

       V(m,n) = ∞

else

V(m,n) = Min{  V(m-1,i) + Num(i+1,n) } ( i = m … n-1)
Num(i,j)表示从第i个数字到第j个数字所组成的数。数字编号从1开始算。此操 作复杂度是O(j-i+1)，可以预处理后存起来。

总时间复杂度：O(mn2) 。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int N=1005;
int a[N];//a[N]里面是存数字串
int num[N][N];//num[i][j]表示数字串a[N]的第i位到第j位之间的数字串表示的数组
int dp[N][N];//dp[i][j]在i个数字中插入j个加号所能形成的表达式最小值
int main()
{
    int n,m;
    while(cin>>n>>m)
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)
            cin>>a[i];
        for(int i=1;i<=n;i++)//预处理，计算i到j数字组成的数字
        {
            num[i][i]=a[i];
            for(int j=i+1;j<=n;j++)
                num[i][j]=num[i][j-1]*10+a[j];
        }
        memset(dp,INF,sizeof(dp));//当n-1<m时，即插入的加号比数字空位多，设置为无穷大
        for(int i=1;i<=n;i++)
            dp[0][i]=num[1][i];//没有加号时
        for(int i=1;i<=m;i++)
            for(int j=1;j<=n;j++)
                for(int k=i;k<=j;k++)
                {
                    dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i-1][k]+num[k+1][j]);
                }
        cout<<dp[m][n]<<endl;
    }

    return 0;
}