机器学习基石10--Logistic Regression_两点横坐标的平均数等于对称中心的横坐标, 两点纵坐标的平均数等于对称中心-优快云博客

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本文深入探讨了逻辑回归在疾病预测中的应用，讲解了从硬性分类到软性分类的概念转变，介绍了Sigmoid函数及其在逻辑回归中的角色，以及如何通过极大似然法和梯度下降算法求解最优权重。

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一、逻辑回归问题 Logistic Regression Problem

logistic regression多用于预测疾病。一个心脏病预测的例子：根据患者的年龄、血压等信息来预测患者是否会有心脏病。是否二字已向我们表名这是一个二分类问题，它的输出结果为{+1，-1}。

比较常用的情形是探索某疾病的危险因素，根据危险因素预测某疾病发生的概率。二元分类多数情况下，ideal target fuction f(x)>0.5,则判断为正类；若f(x)<0.5,判断为负类-1。

上面是我们想要的理想函数，f(x)会得到+1或-1的结果，作为是否有心脏病的结果。

那么对于上面这种情况，我们想知道的不再是患者是否而是有多大几率是心脏病。几率则说明我们关心的值，及目标函数的值分布在0-1之间，其实我们更关心正类的概率，即患有心脏病的概率。这与我们平常所说的二分类问题不太一样，我们称这种问题为软（柔）性二分类问题（soft's binary classfication）。这个值越是接近1表示正类可能性越大，越接近0表示负类可能性越大。

$f(x) = P(+1|x) \epsilon [0,1]$ 条件概率在已知(样本）x 的情况下得到+1的概率。我们想要的立项数据是分布在[0,1]之间的值，但是实际上我们在生活中只可能获得一个人是否患有心脏病，而对于他有多大概率则很难获得，即实际的数据只可能是0或者1。

y_1^' = 0.9 是极有可能患有心脏病的（正类-->1）, y_1^' = 0.2则患心脏病风险相对很低（负类---> -1）。

那么问题来了，如果我们理想的目标函数是： $f(x) = P(+1|x) \epsilon [0,1]$ 的话，我们该如何找到一个好的Hypothesis来跟这个目标函数接近呢？即找到一个较好的h作为我们的 $g\approx f$ 。

我们能够拿到心脏病患者的很多相关特征，有了这些特征我们可以进行加权处理，得到的结果s，称为risk score。

$S = \sum_{i=0}^{d}W_iX_i$ 加权得到的结果加权和 $S\epsilon (-\infty ,+\infty)$ ,这样我们前进了一步，得到一个相关式子，但是我们想要的结果是将值限定在[0,1]之间。常用的一个方法就是使用sigmod function，记为 $\theta(s)$ 。于是我们的目标就是找到一个最好的hypothesis： $h(x) = \theta(w^Tx)$ 。

Sigmod Function的形式为 $\theta(s) = \frac{1}{1+e^{-s}}$ ，它满足 $\theta(-\infty)=0,\theta(0)=\frac{1}{2},\theta(+\infty)=1$ 。这个函数是平滑的、单调的s型函数。那么对于我们的逻辑回归问题，hypothesis就是这样的形式：

$h(x) = \frac{1}{1+e^{-w^Tx}}$
接下来我们的目标就是求出这个预测函数h(x), 使它逼近我们要的目标函数f(x)。

二、逻辑回归的错误衡量 Logistic Regression Error

线性分类可以通过0/1 err找到h(x), 线性回归可以通过square err找到自己的h(x)，那逻辑回归给的误差err是啥呢？我们发现它的目标函数形式是 $f(x) = P(+1|x) \epsilon [0,1]$ 这样的，等式的右边是P 概率问题，我们要找的又是最接近f(x) 的hypothesis，这些条件我们可以应用极大似然来解决。极大似然就是找到一个与我们目标函数最相似（接近）的hypothesis，这个hypothesis能和产生和目标函数一样的数据集D,包含y,那么这个hypothesis就是极大似然likelihood。

我们又称Sigmod function为logistic function： $h(x)=\theta(w^Tx)$ ，它满足一个性质： $1-h(x)= h(-x)$ 。

这里的性质用到：

关于某点中心对称：两点横坐标的平均数等于对称中心的横坐标，两点纵坐标的平均数等于对称中心的纵坐标。

对于sigmod 函数对称中心 $\frac{1}{2}$ $)$ ， ${\color{Red} \frac{x+(-x)}{2}=0 , \frac{h(x)+h(-x)}{2}=\frac{1}{2}}$ .

那应用上面的性质，我们说h(x)和f(x)非常的接近，则：

那么我们的似然性h:

$likelihood(h)=P(x_1)h(+x_1)\times P(x_2)h(-x_2)\times\cdot \cdot \cdot P(x_N)h(-x_N)$ 性质： $\mathbf{{\color{Teal} 1-h(x)= h(-x)}}$

P(n)被写成灰色，是因为对于所有h来说，都是一样的，P(x)是先验概率，我们可以忽略它。我们得到的logistic h正比于 $h(y_nx_n)$ ,我们的目标就是让似然函数的乘积最大化，找到最接近的函数。

我们称为交叉熵误差（Cross-Entropy Error）。

需要解释的一点是，我们为什么在 $\mathit{{\color{Red} h}}$ 中要加入 y_n 。你看我们使用的数据集 D，如果他今天是个 $\circle$ (正类)，我们就是 $h(x_n)$ ，如果他今天是 $\times$ （负类），我们就是 h(-x_n) , y_n 对应着+1、-1。这与我们上面的likelihood $likelihood(h)=P(x_1)h(+x_1)\times P(x_2)h(-x_2)\times\cdot \cdot \cdot P(x_N)h(-x_N)$ 正负对应。

我们已经知道： $h(x) = \theta(w^Tx)$

下面将权重w带入：

y_n 代表正负， w^T 可以放在 $x_n$ 前面。

在求最大似然函数时，我们常常会用 In 函数将连乘问题转化连加问题，进而简化运算。

一下子就简单了好多，然后我们在将求最大值问题转化为求最小值问题，最小值问题更方便我们求解，添加一个符号就OK了，然后我们再求平均，引入1/N：

最后我们将我们的logistic function的表达式 $\theta(s) =\frac{1}{1+e^{-s}}$ 带入上式，我们的问题就有如下形式：

最终，我们也得到了logistic function的err function，即交叉熵误差：

三、逻辑回归错误的梯度衡量（Gradient of Logistic Regression Error）

我们已经推导了 $E_{in}$ 的表达式，那么接下来的任务就是找到合适的向量w，让 $E_{in}$ 最小。

我们找到犯错的概率，让 $E_{in}$ 越小越好，这里的 $E_{in}$ 是连续的、可微分的、二次可微的凸曲线（开口向上），我们先尝试一步登天求出 $\bigtriangledown E_{in}(w) = E_{in}(w)^{'} = 0$ 时的w，那么我们可以根据之前的线性回归的思路，先计算出 $E_{in}$ 的梯度为零时的w，就是我们要找的最优解。

即我们对 $E_{in}(w)$ 求关于w的微分：

得到的梯度表达式：

用一列高高的向量表示，而不是表达梯度里每一格是什么样子， $X_{n},i$ 写成向量的形式。我们已经求得 $E_{in}(w)$ 微分后的表达式，接下来为了计算 $E_{in}$ 最小值，我们就要求解 $\bigtriangledown E_{in}(w) = E_{in}(w)^{'} = 0$ 。

上面的式子，可以理解为 $\Theta(-y^nw^Tx_n)$ 是 $-y_nx_n$ 的线性加权。这就要求 $\Theta(-y^nw^Tx_n)$ 和 $-y_nx_n$ 的线性加权和为0，其中一种情况就是先行可分的，如果 $\Theta(-y^nw^Tx_n)$ 为0，就能保证 $\bigtriangledown E_{in}(w) = E_{in}(w)^{'} = 0$ 。 $\Theta(-y^nw^Tx_n)$ 是sigmod 函数，根据该函数特性，只需 $-y_nw^Tx_n \ll 0$ ，即 $y_nw^Tx_n \gg 0$ ， $y_nw^Tx_n \gg 0$ 说明对于所有的点， $y_n$ 与 $w^Tx_n$ 都是同号的，这表示数据集D必须是全部线性可分的才能成立。

显然，这相当于已经提前预设条件了，假设所有点都是线性可分的，不过保证上面这种情况其实不太现实，总会有无法成立的情况，这就引出另一种情况了，非线性可分的情况，只能通过使加权和为0，来求解w。这种情况并不是封闭式解，这就与现行回归不同了，只能用迭代法进行求解了。

结果我们无法像线性回归那样一步登天求出w，我们可以想想有哪些算法是一步一步迭代求解的，我们之前看过的PLA算法，就是一步一步迭代进行的，每次对错误的点进行修正，不断更新w值。PLA的迭代优化过程：

我们首先找到错误，然后第二步进行修正，一步一步找到最后的w作为g。现在我们将两步合成一步。

上面的意思是若这个点是错的就加上 $y_nx_n$ ,是对的话前面就是加上0 * $y_nx_n$ ，等于不做更新。

上面 $\upsilon$ 代表我们每次更新的方向， $\eta$ 代表了每次更新的步长。参数 $(\upsilon ,\eta )$ 和终止条件决定了我们的迭代算法。

下面我们开始求解梯度下降算法。迭代算法让每次的w都有更新。

在这个过程，我们把 $E_{in}(w)$ 曲线看成一个山谷，我们要求 $E_{in}(w)$ 最小，这就好比下山的过程，一直找到谷底就能得到 $E_{in}(w)$ 最小。下山有两个因素很重要，一个是下山的方向，如果走错方向就会事倍功半，还可能走不到谷底，另一个是下山的步长，如果不长总是太小，那么下山花费的时间就相当可观，如果太大，可能会使我们的下山过程看起来非常不稳定，甚至可能错过谷底。 $(\upsilon ,\eta )$ 分别代表了下山的单位方向和下山的步长。

我们要计算： $\underset{||v||=1}{min}E_{in}(\underset{w_{t+1}}{\underbrace{w_t + \eta \upsilon }})$ 。利用微分的思想，我们取一小段，即每次下山只前进一小步，即 $\eta$ 很小，那么根据泰勒一阶展开式，可以得到：

我们来详细写一下上面这个式子的计算过程：

首先我们要知道知识多元泰勒公式展开，有下面一些公式：

多元函数(n)在点 $(x_k,y_k)$ 处的泰勒展开式为：

$f(x^1,x^2,...,x^n) = f(x_k^1,x_k^2,...,x_k^n)+\sum_{i=1}^{n}(x^i-x_k^i)f_{x^{i}}^{'}(x_k^1,x_k^2,...,x_k^n)+\frac{1}{2!}\sum_{i,j=1}^{n}(x^i-x_k^j)(x^j-x_k^j)f_{ij}^{''}(x_k^1,x_k^2,...,x_k^n)+o^n$

把Taylor展开式写成矩阵的形式：

$f(X) = f(X_k) + [\bigtriangledown f(X_k)]^T(x-x_k)+\frac{1}{2!}[X-X_k]^TH(X_k)[X-X_k]+ o^n$

更多相关参考：多元泰勒展开式

首先我们的目标：

$E_{in}(w_t+\eta \upsilon ) \approx E_{in}(w_t) +\eta \upsilon ^T\bigtriangledown E_{in}(w_t)$

我们将 $E_{in}(w_t+\eta \upsilon )$ 在 $w_t$ 点展开，即取一小段，根据上面泰勒展开成矩阵的形式：

$E_{in}(w_t+\eta \upsilon ) \approx E_{in}(w_t )+[\bigtriangledown E_{in}(w_t)]^T((w_t+\eta \upsilon )-w_t)$ 我们并没有写完全所以才使用 $\approx$

$\approx E_{in}(w_t ) + [\bigtriangledown E_{in}(w_t)]^T(\eta \upsilon )$

$\approx E_{in}(w_t)+\eta \upsilon ^T\bigtriangledown E_{in}(w_t)$

我们进行迭代的目的就是让 $E_{in}(w_t)$ 越来越小，即让 $E_{in}(w_t+\eta \upsilon ) < E_{in}(w_t)$ 。 $\eta$ 是标量，如果两个向量方向相反的话，那么他们的内积就最小（为负），也就是方向 $\upsilon$ 如果和 $\bigtriangledown E_{in}(w_t)$ 方向相反的话，那么就能保证每次迭代都有 $E_{in}(w_t+\eta \upsilon ) < E_{in}(w_t)$ 成立。那么我们另 $\upsilon$ 与 $\bigtriangledown E_{in}(w_t)$ 方向相反，另外由于 $\upsilon$ 又是单位向量，所有我们可以写出：

$\upsilon = -\frac{\bigtriangledown E_{in}(w_t)}{||E_{in}(w_t)||}$

$\upsilon$ 是单位向量，每次都沿着梯度的反方向走，也就是沿着导数不断变小的方向前进，这种方法称为梯度下降算法。

梯度：梯度的本意是一个向量（矢量），表示某一函数在该点处的方向导数沿着该方向取得最大值，即函数在该点处沿着该方向（此梯度的方向）变化最快，变化率最大（为该梯度的模）。 -----百度百科

迭代公式就可以写成：

$w_{t+1} \leftarrow w_t -\eta \frac{\bigtriangledown E_{in}(w_t)}{||E_{in}(w_t)||}$

我们已经看过了 $\upsilon$ ，现在来看看 $\eta$ 的大小对迭代优化的影响： $\eta$ 如果太小的话，那么下降的速度就会很慢， $\eta$ 如果太大，那么使用泰勒展开的方法就不稳定了，我们使用泰勒是选取一小段，如果 $\eta$ 步长太大，泰勒展开也就不准了，造成下降会很不稳定，甚至还会上升。所以要选一个合适的 $\eta$ ，即在梯度较大的时候， $\eta$ 也会较大，在梯度较小的时候， $\eta$ 也很小，这样来看 $\eta$ 正比于梯度 $||\bigtriangledown E_{in}(w_t)||$ 。这样就保证能快速、稳定地得到最小值 $E_{in}(w_t)$ 。 $\eta \propto ||\bigtriangledown E_{in}(w_t)||$ 。

我们用 $\eta ^{'}$ 来代替紫色的 $\eta$ 于是有：

$w_{t+1} \leftarrow w_t -\eta^{'} \bigtriangledown E_{in}(w_t)$ 其中： $\eta ^{'} = \frac{\eta }{||\bigtriangledown E_{in}(w_t)||}$

我们上面的式子，当 $||\bigtriangledown E_{in}(w_t)||$ 很大的时候， $\frac{1}{||\bigtriangledown E_{in}(w_t)||}$ 就会很小，那么 $\eta$ 正比于 $||\bigtriangledown E_{in}(w_t)||$ ， $\eta$ 也会很大，这样 $\eta ^{'}$ 就会增大步伐；当 $||\bigtriangledown E_{in}(w_t)||$ 很小的时候， $\frac{1}{||\bigtriangledown E_{in}(w_t)||}$ 就会很大，那么 $\eta$ 正比于 $||\bigtriangledown E_{in}(w_t)||$ ， $\eta$ 也会很小，这样 $\eta ^{'}$ 就会减小步伐。