IMA+DeepSeek撰写NOIP2009T2Hankson 的趣味题解题报告-优快云博客

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一、提问词

你是一个具有10年以培训经验的信息奥赛教练，现请你撰写NOIP2009提高组T1潜伏者题解，至少包括以下几个部分：
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1、题目描述
2、解题思路
3、实现代码
4、代码说明
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二、IMA+DeepSeek回复

1. 题目描述

问题背景 1
Hanks博士提出一个关于公约数和公倍数的逆问题：已知正整数 a0,a1,b0,b1求满足以下两个条件的正整数 xx 的个数：

1.公约数条件：gcd⁡(x,a0)=a1
2.公倍数条件：lcm(x,b0)=b1

输入输出格式

输入：第一行为 nn（测试组数），随后 nn 行每行给出 a0,a1,b0,b1
输出：每组输出满足条件的 x 的数量。

数据范围

1≤n≤2000，所有数均为 ≤2×10^9 的正整数。

2. 解题思路

关键性质分析

1.公约数约束：gcd⁡(x,a0)=a1 ⟹ x 必须是 a1的倍数，且 x 和 a0/a1 互质。
2.公倍数约束：lcm(x,b0)=b1 ⟹ b1 必是 x 的倍数，x 需满足 x∣b1

数学推导与优化

暴力枚举 xx 会超时，需缩小枚举范围：
1. x 必须是 b1 的约数（通过枚举 b1 加速）。
2. 对每个约数 x 验证两个条件是否成立。

算法步骤

枚举 b1 的所有因子 x。
对每个 \( x \ )：
- 检查 gcd⁡(x,a0)=a1 且 lcm(x,b0)=b1。
统计所有合法的 xx 的数量。

3. 实现代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// 求最大公约数[1](@ref)
int gcd(int a, int b) {
    return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
}

// 求最小公倍数（需转long long防溢出）[2](@ref)
int lcm(int a, int b) {
    return (long long)a * b / gcd(a, b);
}

// 处理单个测试用例
void solve(int a0, int a1, int b0, int b1) {
    int cnt = 0;
    for (int x = 1; x * x <= b1; x++) {
        if (b1 % x != 0) continue;
        
        // 检查当前因子x是否合法
        if (gcd(x, a0) == a1 && lcm(x, b0) == b1) cnt++;
        
        // 检查对应的另一因子b1/x是否合法
        int y = b1 / x;
        if (x != y) {
            if (gcd(y, a0) == a1 && lcm(y, b0) == b1) cnt++;
        }
    }
    printf("%d\n", cnt);
}

int main() {
    freopen("son.in", "r", stdin);
    freopen("son.out", "w", stdout);
    
    int n, a0, a1, b0, b1;
    scanf("%d", &n);
    while (n--) {
        scanf("%d%d%d%d", &a0, &a1, &b0, &b1);
        solve(a0, a1, b0, b1);
    }
    return 0;
}