（学习博客园Ider的学习结果）最大公约数GCD的求解

本文详细介绍了使用碾转相除法（辗转相除法）来求解两个整数的最大公约数的方法，并给出了非递归及递归算法实现。通过数学引理证明了gcd(m,n)=gcd(n,m%n)的有效性。

2.4第7题求m,n的最大的公约数

求解思路：用碾转算法

关键点：证明 gcd(m,n) = gcd(n,m%n) (注gcd = greatest common divisor)

一、碾转算法：

设:m≥n

s1:若m%n = 0 , 则 n 为 m,n的最大公约数。

S2：若m%n ≥ 0 , 则 m = n , n = m % n 转到S1。

二、证明 gcd(m,n) = gcd(n,m%n)

(

定义：

k | m 表示 m 可以被 k 整除 k ∈n .

∨(x|0) 表示 0 可以被任何数整除， ∨(0±x)表示0不可以整除任何数。

引理：

假设 k | a ， k | b ,则对于任何 x, y ∈ Z 有 k | xa + yb .

证明：

k|a = p ＝＞a = pk , k|b ＝＞b = qk , 因 k|(xp + yq) k ＝＞ k|xa+yb.

)

假设 k = gcd (m,n) ， j = gcd(n,m%n)

(1) k | m ,且 k | n . m = a n + m%n , m% n = m - an . 由引理可知，取 x = 1 , y = -a ，则 k | m%n 且 k | n ,

＝＞ k 是 n,m%n的公约数 , 所以 j ≥ k .

(2) j | n ,且 j | m%n . m = a n + m% n . 由引理可知，取 x = a, y = 1，则 j | m 且 j | n ,

＝＞ j 是 m,n 的公约数 , 所以 k ≥ j .

综上述两步得出j = k .

所以gcd(m,n) = gcd(n,m%n).

非递归算法：

int gcd (int m , int n)
{
	int r = n ;
	while (r != 0)
  	  {
		r = m % n ;
		m = n;
		n = r ;

    	  } 

	if (r ==0)
	 {
		return m;
	 }
}

递归算法：

int gcdRecursion (int m , int n)
{
	if (m%n == 0)
	{
		return n ;
	}
	else
	{
		 gcdRecursion(n,m%n);
	}
	
}

另外附上Ider写的非递归算法

int gcd(int m, int n) 
{ 
    while (n) 
    { 
        n = m^n; 
        m = m^n; 
        n = (m^n)%m; 
    } 
      
    return m; 
} 
  
//当m=0,n=0时， gcd(m,n)返回0， 我们可以视其为无穷大 （见评论）