小唐龙的质数筛：

质数筛：

质数定义：

若一个正整数无法被除了 1 和它自身之外的任何自然数整除，则称该数为质数（或者素数），否则称该自然数为合数。

题目链接：

204. 计数质数

int countPrimes(int n){
    int sum = 0;
    while(n--){
        
        if(isPrime(n))sum++;
    }
    return sum;
}

题目逻辑很简单，主要是判断素数。下面我们来看isPrime函数的编写。

1.暴力解法：

bool isPrime(int n){
	if(n<2){
		return false;
	}
	for(int i = 2; i < sqrt(n); i++){
		if(n % i == 0){
			return false;
		}
	}
	return true;
}

时间复杂度：emm O（n），算上外面那层while就是O（n^2）,很明显过不去，超时了。

那么接下来先优化一下吧。我们知道，一个数是不是质数得由两个数的乘积能否得到它来判断，所以，我们可以发现，i < n 这个判断条件，完全可以用i <= √n 来替换，因为到了后面其实是进行了重复的判断。

那么就可以优化为：

bool isPrime(int n){
	if(n<2){
		return false;
	}
	for(int i = 2; i <= sqrt(n); i++){
		if(n % i == 0){
			return false;
		}
	}
	return true;
}

时间复杂度:O(n * √n )。

过了吗，当然没过，这次卡在了第21个测试点，起码说明我们的优化是有效果的，那就继续进行。

首先在自然数中，2和3是很常见的约数，我们是不是可以将其去处呢，当然可以。对于一个数对6取余，如果其模1或5，那么自然就不是2和3的公倍数。

int isPrime(int n){
    if(n==2||n==3|n==5)return 1;
    if(n==1||n==4||n==0)return 0;
    if(n%6==1||n%6==5){
        for(int i = 2 ; i <= sqrt(n) ; i++){
            if(n%i==0)return 0;
        }return 1;
    }
    return 0;
}

当然，还是过不了。emm，说明在数据量很大的情况下，只是单纯的优化判断每个数是不是质数是不行的，我们要减少对数的判断。比如一个很大的质数它的倍数，用上面的算法可能就得判断很多次。我们是不是可以避免这样的判断呢。接下来，请看质数筛。

埃氏筛：

int isPrime[5000000];//定义在全局变量的数组初始值为0，不用遍历赋值0。
int countPrimes(int n) {
    if (n < 2) {
        return 0;
    }
    int sum = 0;
    for (int i = 2; i < n; ++i) {
        if (isPrime[i] == 0) {
            sum += 1;
            if (i <= sqrt(n)) {
                for (int j = i * i; j < n; j += i) {
                    isPrime[j] = 1;
                }
            }
        }
    }
    return sum;
}

时间复杂度：O(nloglogn)，证明比较麻烦，作者也就大概看懂，这里就不说出来了，（避免丢人）咳咳。

空间复杂度：O（n）。

最后，其实还有个更nb的线性筛时间复杂度和空间复杂度都为O（n）。这个我还得捋一捋，本质上还是在埃氏筛上进行了优化。等我学会了再进行补充。