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递归是设计和描述算法的一种有力的工具，由于它在复杂算法的描述中被经常采用，为此在进一步介绍其他算法设计方法之前先讨论它。
  能采用递归描述的算法通常有这样的特征：为求解规模为N的问题，设法将它分解成规模较小的问题，然后从这些小问题的解方便地构造出大问题的解，并且这些规模较小的问题也能采用同样的分解和综合方法，分解成规模更小的问题，并从这些更小问题的解构造出规模较大问题的解。特别地，当规模N=1时，能直接得解。
【问题】   编写计算斐波那契（Fibonacci）数列的第n项函数fib（n）。
  斐波那契数列为：0、1、1、2、3、……，即：
    fib(0)=0;
    fib(1)=1;
    fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2)     （当n>1时）。
写成递归函数有：
int fib(int n)
{   if (n==0)     return 0;
  if (n==1)     return 1;
  if (n>1)     return fib(n-1)+fib(n-2);
}
  递归算法的执行过程分递推和回归两个阶段。在递推阶段，把较复杂的问题（规模为n）的求解推到比原问题简单一些的问题（规模小于n）的求解。例如上例中，求解fib(n)，把它推到求解fib(n-1)和fib(n-2)。也就是说，为计算fib(n)，必须先计算fib(n-1)和fib(n-2)，而计算fib(n-1)和fib(n-2)，又必须先计算fib(n-3)和fib(n-4)。依次类推，直至计算fib(1)和fib(0)，分别能立即得到结果1和0。在递推阶段，必须要有终止递归的情况。例如在函数fib中，当n为1和0的情况。
  在回归阶段，当获得最简单情况的解后，逐级返回，依次得到稍复杂问题的解，例如得到fib(1)和fib(0)后，返回得到fib(2)的结果，……，在得到了fib(n-1)和fib(n-2)的结果后，返回得到fib(n)的结果。
  在编写递归函数时要注意，函数中的局部变量和参数知识局限于当前调用层，当递推进入“简单问题”层时，原来层次上的参数和局部变量便被隐蔽起来。在一系列“简单问题”层，它们各有自己的参数和局部变量。
  由于递归引起一系列的函数调用，并且可能会有一系列的重复计算，递归算法的执行效率相对较低。当某个递归算法能较方便地转换成递推算法时，通常按递推算法编写程序。例如上例计算斐波那契数列的第n项的函数fib(n)应采用递推算法，即从斐波那契数列的前两项出发，逐次由前两项计算出下一项，直至计算出要求的第n项。
【问题】   组合问题
问题描述：找出从自然数1、2、……、n中任取r个数的所有组合。例如n=5，r=3的所有组合为：   （1）5、4、3     （2）5、4、2     （3）5、4、1
      （4）5、3、2     （5）5、3、1     （6）5、2、1
      （7）4、3、2     （8）4、3、1     （9）4、2、1
      （10）3、2、1
  分析所列的10个组合，可以采用这样的递归思想来考虑求组合函数的算法。设函数为void comb(int m,int k)为找出从自然数1、2、……、m中任取k个数的所有组合。当组合的第一个数字选定时，其后的数字是从余下的m-1个数中取k-1数的组合。这就将求m个数中取k个数的组合问题转化成求m-1个数中取k-1个数的组合问题。设函数引入工作数组a[ ]存放求出的组合的数字，约定函数将确定的k个数字组合的第一个数字放在a[k]中，当一个组合求出后，才将a[ ]中的一个组合输出。第一个数可以是m、m-1、……、k，函数将确定组合的第一个数字放入数组后，有两种可能的选择，因还未去顶组合的其余元素，继续递归去确定；或因已确定了组合的全部元素，输出这个组合。细节见以下程序中的函数comb。
【程序】
# include   <stdio.h>
# define   MAXN   100
int   a[MAXN];
void   comb(int m,int k)
{   int i,j;
  for (i=m;i>=k;i--)
  {   a[k]=i;
    if (k>1)
      comb(i-1,k-1);
    else
    {   for (j=a[0];j>0;j--)
        printf(“%4d”,a[j]);
      printf(“/n”);
    }
  }
}

void main()
{   a[0]=3;
  comb(5,3);
}
【问题】   背包问题
问题描述：有不同价值、不同重量的物品n件，求从这n件物品中选取一部分物品的选择方案，使选中物品的总重量不超过指定的限制重量，但选中物品的价值之和最大。
设n件物品的重量分别为w0、w1、…、wn-1，物品的价值分别为v0、v1、…、vn-1。采用递归寻找物品的选择方案。设前面已有了多种选择的方案，并保留了其中总价值最大的方案于数组option[ ]，该方案的总价值存于变量maxv。当前正在考察新方案，其物品选择情况保存于数组cop[ ]。假定当前方案已考虑了前i-1件物品，现在要考虑第i件物品；当前方案已包含的物品的重量之和为tw；至此，若其余物品都选择是可能的话，本方案能达到的总价值的期望值为tv。算法引入tv是当一旦当前方案的总价值的期望值也小于前面方案的总价值maxv时，继续考察当前方案变成无意义的工作，应终止当前方案，立即去考察下一个方案。因为当方案的总价值不比maxv大时，该方案不会被再考察，这同时保证函数后找到的方案一定会比前面的方案更好。
对于第i件物品的选择考虑有两种可能：
（1）   考虑物品i被选择，这种可能性仅当包含它不会超过方案总重量限制时才是可行的。选中后，继续递归去考虑其余物品的选择。
（2）   考虑物品i不被选择，这种可能性仅当不包含物品i也有可能会找到价值更大的方案的情况。
按以上思想写出递归算法如下：
try(物品i，当前选择已达到的重量和，本方案可能达到的总价值tv)
{   /*考虑物品i包含在当前方案中的可能性*/
  if(包含物品i是可以接受的)
  {   将物品i包含在当前方案中；
    if (i<n-1)
      try(i+1,tw+物品i的重量,tv);
    else
      /*又一个完整方案，因为它比前面的方案好，以它作为最佳方案*/
以当前方案作为临时最佳方案保存;
      恢复物品i不包含状态；
    }
    /*考虑物品i不包含在当前方案中的可能性*/
    if (不包含物品i仅是可男考虑的)
      if (i<n-1)
        try(i+1,tw,tv-物品i的价值)；
      else
        /*又一个完整方案，因它比前面的方案好，以它作为最佳方案*/
以当前方案作为临时最佳方案保存;
  }
  为了理解上述算法，特举以下实例。设有4件物品，它们的重量和价值见表：
物品   0   1   2   3
重量   5   3   2   1
价值   4   4   3   1

并设限制重量为7。则按以上算法，下图表示找解过程。由图知，一旦找到一个解，算法就进一步找更好的佳。如能判定某个查找分支不会找到更好的解，算法不会在该分支继续查找，而是立即终止该分支，并去考察下一个分支。

按上述算法编写函数和程序如下：
【程序】
# include   <stdio.h>
# define   N   100
double   limitW,totV,maxV;
int   option[N],cop[N];
struct   {   double   weight;
      double   value;
    }a[N];
int   n;
void find(int i,double tw,double tv)
{   int k;
  /*考虑物品i包含在当前方案中的可能性*/
  if (tw+a.weight<=limitW)
  {   cop=1;
    if (i<n-1)   find(i+1,tw+a.weight,tv);
    else
    {   for (k=0;k<n;k++)
        option[k]=cop[k];
      maxv=tv;
    }
    cop=0;
}
  /*考虑物品i不包含在当前方案中的可能性*/
  if (tv-a.value>maxV)
    if (i<n-1)   find(i+1,tw,tv-a.value);
    else
    {   for (k=0;k<n;k++)
        option[k]=cop[k];
      maxv=tv-a.value;
    }
}

void main()
{   int k;
  double w,v;
  printf(“输入物品种数/n”);
  scanf((“%d”,&n);
  printf(“输入各物品的重量和价值/n”);
  for (totv=0.0,k=0;k<n;k++)
  {   scanf(“%1f%1f”,&w,&v);
    a[k].weight=w;
    a[k].value=v;
    totV+=V;
  }
  printf(“输入限制重量/n”);
  scanf(“%1f”,&limitV);
  maxv=0.0;
  for (k=0;k<n;k++)   cop[k]=0;
  find(0,0.0,totV);
  for (k=0;k<n;k++)
    if (option[k])   printf(“%4d”,k+1);
  printf(“/n总价值为%.2f/n”,maxv);
}
  作为对比，下面以同样的解题思想，考虑非递归的程序解。为了提高找解速度，程序不是简单地逐一生成所有候选解，而是从每个物品对候选解的影响来形成值得进一步考虑的候选解，一个候选解是通过依次考察每个物品形成的。对物品i的考察有这样几种情况：当该物品被包含在候选解中依旧满足解的总重量的限制，该物品被包含在候选解中是应该继续考虑的；反之，该物品不应该包括在当前正在形成的候选解中。同样地，仅当物品不被包括在候选解中，还是有可能找到比目前临时最佳解更好的候选解时，才去考虑该物品不被包括在候选解中；反之，该物品不包括在当前候选解中的方案也不应继续考虑。对于任一值得继续考虑的方案，程序就去进一步考虑下一个物品。
【程序】
# include   <stdio.h>
# define   N   100
double   limitW;
int   cop[N];
struct   ele   {   double   weight;
        double   value;
      } a[N];
int   k,n;
struct   {   int     flg;
      double   tw;
      double   tv;
    }twv[N];
void next(int i,double tw,double tv)
{   twv.flg=1;
  twv.tw=tw;
  twv.tv=tv;
}
double find(struct ele *a,int n)
{   int i,k,f;
  double maxv,tw,tv,totv;
  maxv=0;
  for (totv=0.0,k=0;k<n;k++)
    totv+=a[k].value;
  next(0,0.0,totv);
  i=0;
  While (i>=0)
  {   f=twv.flg;
    tw=twv.tw;
    tv=twv.tv;
    switch(f)
    {   case 1:   twv.flg++;
          if (tw+a.weight<=limitW)
            if (i<n-1)
            {   next(i+1,tw+a.weight,tv);
              i++;
            }
            else
            {   maxv=tv;
              for (k=0;k<n;k++)
                cop[k]=twv[k].flg!=0;
            }
          break;
      case 0:   i--;
          break;
      default:   twv.flg=0;
          if (tv-a.value>maxv)
            if (i<n-1)
            {   next(i+1,tw,tv-a.value);
              i++;
            }
            else
            {   maxv=tv-a.value;
              for (k=0;k<n;k++)
                cop[k]=twv[k].flg!=0;
            }
          break;
    }
  }
  return maxv;
}

void main()
{   double maxv;
  printf(“输入物品种数/n”);
  scanf((“%d”,&n);
  printf(“输入限制重量/n”);
  scanf(“%1f”,&limitW);
printf(“输入各物品的重量和价值/n”);
  for (k=0;k<n;k++)
    scanf(“%1f%1f”,&a[k].weight,&a[k].value);
  maxv=find(a,n);
  printf(“/n选中的物品为/n”);
for (k=0;k<n;k++)
    if (option[k])   printf(“%4d”,k+1);
  printf(“/n总价值为%.2f/n”,maxv);
}

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遍历二叉树的非递归算法

 

 

 

编写的方法：根据树中结点的遍历规律及顺序直接写出其非递归算法。

 

先序非递归算法
【思路】
假设：T是要遍历树的根指针，若T != NULL
对于非递归算法，引入栈模拟递归工作栈，初始时栈为空。
问题：如何用栈来保存信息，使得在先序遍历过左子树后，能利用栈顶信息获取T的右子树的根指针？
方法1：访问T->data后，将T入栈，遍历左子树；遍历完左子树返回时，栈顶元素应为T，出栈，再先序遍历T的右子树。
方法2：访问T->data后，将T->rchild入栈，遍历左子树；遍历完左子树返回时，栈顶元素应为T->rchild，出栈，遍历以该指针为根的子树。
【算法1】
void PreOrder(BiTree T, Status ( *Visit ) (ElemType e))

{ // 基于方法一，流程图如右，当型循环
InitStack(S);
while ( T!=NULL || !StackEmpty(S)){
while ( T != NULL ){
Visit(T->data) ;
Push(S,T);
T = T->lchild;
}
if( !StackEmpty(S) ){
Pop(S,T);
T = T->rchild;
}
}
}
【算法2】
void PreOrder(BiTree T, Status ( *Visit ) (ElemType e))

{ // 基于方法二，流程图如右，当型循环
InitStack(S);
while ( T!=NULL || !StackEmpty(S) ){
while ( T != NULL ){
Visit(T->data);
Push(S, T->rchild);
T = T->lchild;
}
if ( !StackEmpty(S) ){
Pop(S,T);
}
}
}
进一步考虑：对于处理流程中的循环体的直到型、当型 直到型的实现。
中序非递归算法
【思路】
T是要遍历树的根指针，中序遍历要求在遍历完左子树后，访问根，再遍历右子树。
问题：如何用栈来保存信息，使得在中序遍历过左子树后，能利用栈顶信息获取T指针？
方法：先将T入栈，遍历左子树；遍历完左子树返回时，栈顶元素应为T，出栈，访问T->data，再中序遍历T的右子树。

【算法】
void InOrder(BiTree T, Status ( *Visit ) (ElemType e))
{
InitStack(S);
while ( T!=NULL || !StackEmpty(S) ){
while ( T != NULL ){
Push(S,T);
T = T->lchild;
}
if( !StackEmpty(S) ){
Pop(S, T);
Visit(T->data);
T = T->rchild;
}
}
}
进一步考虑：对于处理流程中的循环体的直到型、当型 直到型的实现。

 

后序非递归算法
【思路】

T是要遍历树的根指针，后序遍历要求在遍历完左右子树后，再访问根。需要判断根结点的左右子树是否均遍历过。
可采用标记法，结点入栈时，配一个标志tag一同入栈(0：遍历左子树前的现场保护，1：遍历右子树前的现场保护)。
首先将T和tag(为0)入栈，遍历左子树；返回后，修改栈顶tag为1，遍历右子树；最后访问根结点。
typedef struct stackElement{
Bitree data;
char tag;
}stackElemType;
【算法】
void PostOrder(BiTree T, Status ( *Visit ) (ElemType e))
{
InitStack(S);
while ( T!=NULL || !StackEmpty(S) ){
while ( T != NULL ){
Push(S,T,0);
T = T->lchild;
}
while ( !StackEmpty(S) && GetTopTag(S)==1){
Pop(S, T);
Visit(T->data);
}
if ( !StackEmpty(S) ){
SetTopTag(S, 1); // 设置栈顶标记
T = GetTopPointer(S); // 取栈顶保存的指针
T = T->rchild;
}else break;
}
}

 

 

 

 

 

中序遍历：

 

算法一:
status inordertraverse(bitree t,status(*visit)(telemtype e)){
//采用二 叉树表的存储结构,visit是对数据元素操作的应用函数.
//中序遍历二叉树t的非递归算法,对每个数据元素调用函数visit.
initstack(s);push(s,t); // 根指针进栈
while(!stackempty(s)){
while(gettop(s,p)&&p)push(s,p->lchild);//向左走到尽头
pop(s,p);//空指针退栈
if(!stackempty(s)){//访问接点,向右一步
pop(s,p);if(!visit(p->date))return ERROR;
push(s,p->rchild);
}//if
}//while
return OK;
}//inordertraverse

算法二:
status inordertraverse(bitree t,status(*visit)(telemtype e)){
//采用二 叉树表的存储结构,visit是对数据元素操作的应用函数.
//中序遍历二叉树t的非递归算法,对每个数据元素调用函数visit.
initstack(s);p=t; // 根指针进栈
while(p||!stackempty(s)){
if(p){push(s,p);p=p->lchild;}//跟指针进栈,遍历左子树
else{//跟指针退栈,访问跟接点,遍历右子树
pop(s,p);if(!visit(p->date))return ERROR;
p=p->rchild;
}//else
}//while
return OK;
}//inordertraverse

 

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折半查找法也称为二分查找法，它充分利用了元素间的次序关系，采用分治策略，可在最坏的情况下用O(log n)完成搜索任务。它的基本思想是，将n个元素分成个数大致相同的两半，取a[n/2]与欲查找的x作比较，如果x=a[n/2]则找到x，算法终止。如果x<a[n/2]，则我们只要在数组a的左半部继续搜索x（这里假设数组元素呈升序排列）。如果x>a[n/2]，则我们只要在数组a的右半部继续搜索x。二分搜索法的应用极其广泛，而且它的思想易于理解，但是要写一个正确的二分搜索算法也不是一件简单的事。第一个二分搜索算法早在1946年就出现了，但是第一个完全正确的二分搜索算法直到1962年才出现。Bentley在他的著作《Writing Correct Programs》中写道，90%的计算机专家不能在2小时内写出完全正确的二分搜索算法。问题的关键在于准确地制定各次查找范围的边界以及终止条件的确定，正确地归纳奇偶数的各种情况，其实整理后可以发现它的具体算法是很直观的，我们可用C++描述如下：

    template<class Type>

    int BinarySearch(Type a[],const Type& x,int n)

    {

        int left=0;

        int right=n-1;

        while(left<=right){

            int middle=(left+right)/2;

            if (x==a[middle]) return middle;

            if (x>a[middle]) left=middle+1;

            else right=middle-1;

        }

        return -1;

    }

   

模板函数BinarySearch在a[0]<=a[1]<=...<=a[n-1]共n个升序排列的元素中搜索x,找到x时返回其在数组中的位置，否则返回-1。容易看出，每执行一次while循环，待搜索数组的大小减少一半,因此整个算法在最坏情况下的时间复杂度为O(log n)。在数据量很大的时候，它的线性查找在时间复杂度上的优劣一目了然。