问题 I: 最长公共子序列

最新推荐文章于 2024-06-24 14:19:08 发布

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分类专栏： DP 文章标签：动态规划

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本文介绍了一种解决最长公共子序列问题的经典算法。通过构建二维动态规划数组，该算法能够找出两个字符串之间的最长公共子序列长度。文章详细解释了状态转移方程，并提供了完整的AC代码实现。

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问题 I: 最长公共子序列

时间限制: 1 Sec 内存限制: 32 MB

http://192.168.8.233/problem.php?cid=1061&pid=8

题目描述

给你一个序列X和另一个序列Z，当Z中的所有元素都在X中存在，并且在X中的下标顺序是严格递增的，那么就把Z叫做X的子序列。
例如：Z=<a,b,f,c>是序列X=<a,b,c,f,b,c>的一个子序列，Z中的元素在X中的下标序列为<1,2,4,6>。
现给你两个序列X和Y，请问它们的最长公共子序列的长度是多少？

输入

输入包含多组测试数据。每组输入占一行，为两个字符串，由若干个空格分隔。每个字符串的长度不超过100。

输出

对于每组输入，输出两个字符串的最长公共子序列的长度。

样例输入

abcfbc abfcab
programming contest 
abcd mnp

样例输出

4
2
0

以字符串“sadstory”与“adminsorry”为例，其最长的公共子序列(为“adsory”，长度为6。

解题思路：令二维数组dp[i][j]表示字符串A的i号位和字符串B的j号位之前的最长公共子序列，如dp[4][6]表示“sads”和“admins”的最长公共子序列长度。那么A[i]和B[j]可以分为2种情况：

(1)A[i]==B[j]，说明字符串A与字符串B的最长公共子序列长度又增加了1位，即dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1。例如在样例中dp[4][6]表示示“sads”和“admins”，因为A[4]==B[6]，所以dp[4][6]=dp[3][5]+1 即3

(2)A[i]!=B[j]，说明字符串A的i号位和字符串B的j号位之前的最长公共子序列无法延长，因而dp[i][j]将会继承dp[i-1][j]和dp[i][j-1]，即有dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])。例如，dp[3][3]表示"sad"与“adm”的最长公共子序列的长度，但是A[3]!=B[3]，这样dp[3][3]无法在原有的基础上延长，因此会继承“sa”与“adm”、“sad”与“ad”的最长公共子序列的较大值，即“sad”与“ad”的最长公共子序列长度2。(这里的i,j在某种意义上来说，地位是对等的)

由此可以得到状态转移方程：

边界：dp[i][0]=dp[0][j]=0 (字符串下标从1开始，下标0因此为0)

这样dp[i][j]就与之前的状态无关，由边界出发可以得到整个dp数组，最终dp[n][m]就是需要的结果

AC代码：

# include <stdio.h>
# include <string.h>

int max(int a, int b)
{
	if (a > b)
	return a;
	else
	return b;
}
int main(void)
{
	int i, j, dp[101][101];
	char str1[101], str2[101];
	
	while (~ scanf("%s%s", str1+1, str2+1))
	{
		memset(dp, 0, sizeof(dp));
		for (i = 1; str1[i]; i ++)
			for (j = 1; str2[j]; j ++)
				if(str1[i] == str2[j])
					dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;
				else
					dp[i][j] = max(dp[i][j-1], dp[i-1][j]);
					
		printf("%d\n", dp[i-1][j-1]);
	}
    return 0；
 }