【白板推导系列笔记】线性回归-正则化-岭回归-频率角度

在之前已知
$$\begin{array}{c}LossFunction:L(\omega )=\sum _{i=1}^N||{\omega }^T{x}_i-y_i|{|}^2\\ 解得\hat{\omega }=(X^{T}X{)}^{-1}{X}^{T}Y\end{array}$$

在实际应用时，如果样本容量不远远大于样本的特征维度，很可能造成过拟合，对这种情况，我们有下面三个解决方式：

1. 加数据
2. 特征选择（降低特征维度）如 PCA 算法。
3. 正则化

正则化一般是在损失函数（如上面介绍的最小二乘损失）上加入正则化项（表示模型的复杂度对模型的惩罚）

作者：tsyw
链接：线性回归 · 语雀 (yuque.com)

一般的，正则化框架有
$$\underset{\omega }{\mathrm{argmin}}[\underset{Loss}{\underbrace{L(\omega )}}+\underset{penalty}{\underbrace{\lambda P(\omega )}}]$$
当使用L1 Lasso时，对应正则化框架
$$\underset{\omega }{\mathrm{argmin}}[\underset{Loss}{\underbrace{L(\omega )}}+||\omega |{|}_1]$$
当使用L2 Ridge（岭回归）时，对应正则化框架
$$\underset{\omega }{\mathrm{argmin}}[\underset{Loss}{\underbrace{L(\omega )}}+||\omega |{|}_2^2]=\underset{\omega }{\mathrm{argmin}}[\underset{Loss}{\underbrace{L(\omega )}}+{\omega }^T\omega ]$$

对于L2 Ridge，估计$\hat{\omega }$有
$$\begin{array}{rl}J(\omega )& =\sum _{i=1}^N||{\omega }^T{x}_i-y_i|{|}^2+\lambda {\omega }^T\omega \\ & =({\omega }^T{X}^T-Y^T)(X\omega -Y)+\lambda {\omega }^T\omega \\ & ={\omega }^T{X}^{T}X\omega -2{\omega }^T{X}^{T}Y+Y^{T}T+\lambda {\omega }^T\omega \\ & ={\omega }^T(X^{T}X+\lambda I)\omega -2{\omega }^T{X}^{T}Y+Y^{T}Y\\ \hat{\omega }& =\underset{\omega }{\mathrm{argmin}}J(\omega )\\ \frac{\partial J(\omega )}{\partial \omega }& =2(X^{T}X+\lambda I)\omega -2X^{T}Y\\ 2(X^{T}X+\lambda I)\omega -2X^{T}Y& =0\\ \hat{\omega }& =(X^{T}X+\lambda I{)}^{-1}{X}^{T}Y\end{array}$$

利用2范数进行正则化不仅可以使模型选择$\omega$较小的参数，同时也避免$X^{T}X$不可逆的问题

作者：tsyw
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在前面已经知道
$$\begin{array}{c}y=f(\omega )+ϵ={\omega }^{T}x+ϵ\\ ϵ\sim (0,{\sigma }^2)\\ y|x;\omega \sim N({\omega }^{T}x,{\sigma }^2)\end{array}$$
假设权重先验也为高斯分布，即取先验分布$\omega \sim N(0,{\sigma }_0^2)$，又有
$$\begin{array}{rl}p(y|\omega )& =\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }\text{exp}\left[-\frac{(y-{\omega }^{T}x{)}^2}{2{\sigma }^2}\right]\\ p(\omega )& =\frac{1}{\sqrt{2\pi }{\sigma }_0}\text{exp}\left[-\frac{||\omega |{|}^2}{2{\sigma }_0^2}\right]\\ p(\omega |y)& =\frac{p(y|\omega )p(\omega )}{p(y)}\end{array}$$
因此对于$\omega$的最大后验，有
$$\begin{array}{rl}\hat{\omega }& =\underset{\omega }{\mathrm{argmax}}p(\omega |y)这里应该是\prod _{i=1}^{N}p(\omega |y_i),但最后再写不影响\\ & =\underset{\omega }{\mathrm{argmax}}p(y|\omega )\cdot p(\omega )\\ & =\underset{\omega }{\mathrm{argmax}}\log [p(y|\omega )\cdot p(\omega )]\\ & =\underset{\omega }{\mathrm{argmax}}\log \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }\frac{1}{\sqrt{2\pi }{\sigma }_0}\right)+\log \text{exp}\left[-\frac{(y-{\omega }^{T}x{)}^2}{2{\sigma }^2}-\frac{||\omega |{|}^2}{2{\sigma }_0^2}\right]\\ & =\underset{\omega }{\mathrm{argmin}}\left[\frac{(y-{\omega }^{T}x{)}^2}{2{\sigma }^2}+\frac{||\omega |{|}^2}{2{\sigma }_0^2}\right]\\ & =\underset{\omega }{\mathrm{argmin}}\left[(y-{\omega }^{T}x{)}^2+\frac{{\sigma }^2}{{\sigma }_0^2}||\omega |{|}^2\right]\\ & =\underset{\omega }{\mathrm{argmin}}\left[\sum _{i=1}^N(y_i-{\omega }^T{x}_i{)}^2+\frac{{\sigma }^2}{{\sigma }_0^2}||\omega |{|}^2\right]\end{array}$$
从这里就可以看出，正则化后的最小二乘估计等价于噪声为高斯分布、先验分布为高斯分布的最大后验
再加上之前的，没有正则化的最小二乘估计等价于噪声为高斯分布的极大似然估计

我们可以按照下⾯的⽅式表述贝叶斯定理。如果在我们知道⽔果的种类之前，有⼈问我们哪个盒⼦被选中，那么我们能够得到的最多的信息就是概率p(B)。我们把这个叫做先验概率（prior probability），因为它是在我们观察到⽔果种类之前就能够得到的概率。⼀旦我们知道⽔果是橘⼦，我们就能够使⽤贝叶斯定理来计算概率p(B | F )。这个被称为后验概率（posterior probability），因为它是我们观察到F之后的概率。注意，在这个例⼦中，选择红盒⼦的先验概率是 $\frac{4}{10}$，所以与红盒⼦相⽐，我们更有可能选择蓝盒⼦。然⽽，⼀旦我们观察到选择的⽔果是橘⼦，我们发现红盒⼦的后验概率现在是$\frac{2}{3}$，因此现在实际上更可能选择的是红盒⼦。这个结果与我们的直觉相符，因为红盒⼦中橘⼦的⽐例⽐蓝盒⼦⾼得多，因此观察到⽔果是橘⼦这件事提供给我们更强的证据来选择红盒⼦。事实上，这个证据相当强，已经超过了先验的假设，使得红盒⼦被选择的可能性⼤于蓝盒⼦。

来源：《PRML Translation》-P19
作者：马春鹏
原著：《Pattern Recognition and Machine Learning》
作者：Christopher M. Bishop

小结
线性回归模型是最简单的模型，但是麻雀虽小，五脏俱全，在这里，我们利用最小二乘误差得到了闭式解。同时也发现，在噪声为高斯分布的时候，MLE 的解等价于最小二乘误差，而增加了正则项后，最小二乘误差加上 L2 正则项等价于高斯噪声先验下的 MAP解，加上 L1 正则项后，等价于 Laplace 噪声先验。

作者：tsyw
链接：线性回归 · 语雀 (yuque.com)

该部分在PRML中P27,28页中有提到

优快云话题挑战赛第2期
参赛话题：学习笔记