运行时间具有对数性质的几种算法

最新推荐文章于 2022-07-12 00:18:36 发布

原创最新推荐文章于 2022-07-12 00:18:36 发布 · 500 阅读

0 ·

CC 4.0 BY-SA版权

本文介绍了三种具有对数时间复杂度的算法：对分查找算法、欧几里得算法和冥运算。对分查找算法通过不断缩小搜索范围来查找元素；欧几里得算法利用辗转相除法求最大公约数；冥运算则采用分治法高效计算幂次。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

运行时间具有对数性质的几种算法

对分查找算法

给定一个整数 X 和整数 $A_{0}$ , $A_{1}$ , $A_{2}$ ……， $A_{N-1}$ ,后者已经预先排序并在内存中，求使得 $A_{i}$ =X 的下标 i ；如果 X 不在数据中，则返回-1.

int BinarySearch( const ElementType A[], ElementType x, int N)
{
	int low, mid, high;
	low = 0; high = N-1;
	while( low <= high )
	{
		mid=( low + high )/2;
		if( A[mid] < x)
			low = mid + 1;
		else
		{
			if( A[mid] > x)
				high = mid -1;
			else
				return mid;
		}
	}
	return -1;
}

显然，每次迭代再循环内的所有工作花费为O(1), 因此分析需要确定循环的次数。循环从 high - low = N-1 开始；到 high - low >= -1 结束。每次循环后 high - low的值减少一半，于是循环次数最多为[ log(N-1) ] + 2。
例如，若 high - low = 128, 则在各次迭代后 high - low 的最大值为64，32，16，8，4，2，1，0，-1。
因此，运行时间是O( logN ）。

欧几里得算法

给定两个整数 M , N ,求 M , N 的最大公因数。

unsigned int Gcd( unsigned int M, unsigned int N )
{
	unsigned int Rem;
	while( N > 0 )
	{
		Rem = M % N;
		M = N;
		N = Rem;
	}
	return M;
}

因为余数不会超过原始值的一半，所以运行时间也是O( logN )。

冥运算

计算 $x^n$ 。（假设机器能够存储足够大的数）
注：如果n是偶数，则 $x^n$ = $xn2x^\frac{n}{2}$ * $xn2x^\frac{n}{2}$ ，如果n是奇数，那么 $x^n$ = $xn−12x^\frac{n-1}{2}$ * $xn−12x^\frac{n-1}{2}$ * x。

long int Pow( long int x, unsigned int n)
{
	if( n == 0 )
		return 1;
	if( n == 1 )
		return x;
	if( IsEven ( n ) ) /* 判断是否是偶数 */
		return Pow( x * x, n / 2 ); /* 用x*x做参数，能提高效率 */
	else
		return Pow( x * x, n / 2) * x;
}

例如，为了计算 $x^{62}$ ，算法将如下进行，它只用到9次乘法：
$x^3$ = ( $x^2$ ) * x,
$x^7$ = ${ (x^3) }^2$ * x,
$x^{15}$ = ${ (x^7) }^2$ * x
$x^{31}$ = ${( x^{15} )}^2$ * x,
$x^{62}$ = ${( x^{32} )}^2$
显然，所需要的乘法次数最多是2logn; 因为把问题分半最多需要两次乘法（如果n是奇数）。