FFT倒位序算法的改进

前面的博文中我们给出了一个很简洁的快速傅里叶变换，然而其性能非常不佳运行缓慢，通过改进旋转因子的计算方式，我们将某些三角求解转化为复乘复加，从而减小了相当一部分计算量，性能显著上升。此时我们分析算法发现整个程序性能瓶颈在于前期的倒位序算法，普通算法将会消耗超过鲽形变换的时间，这一篇文章中我们试图在这一方面进行改进

1.对偶性

我们以 $\frac{N}{2}$ 作为分割点，设 $a$ 为小于 $\frac{N}{2}$ 的一个偶数（ $A ≠ a$）， $A$ 为 $a$ 的逆序数，可以看到有

$$A=rev(a) \qquad (1.a)$$ 其中函数 $rev()$ 是一个倒位序函数。
一看这个A就是一个偶数（将之展开为加权二进制，小于 $\frac{N}{2}$ 的数字最高为权为零，倒位序以后 $2^0$ 的权为零）
同时 $$A=rev(a) \qquad (1.b)$$ 也成立，我们称这个性质为对偶性。可以证明：对于任意一对原数和逆序数，对偶性始终成立

利用对偶性，我们有可能一定程度上缩小问题的规模

考虑了偶数的情况，我们再来看一下奇数，我们可以证明

$$rev(a+1)=\frac{N}{2}+A \qquad (2.a)$$ 成立（同样展开为加权二进制的形式，最低为上的1倒位序后出现在最高位上），同样根据对偶性我们有 $$rev(\frac{N}{2}+A)=a+1 \qquad (2.b)$$
我们还需要 $$rev(\frac{N}{2}+a+1)=\frac{N}{2}+A+1 \qquad (3.a)$$ $$rev(\frac{N}{2}+A+1)=\frac{N}{2}+a+1 \qquad (3.b)$$
罗列了这么多性质我们可以利用其完成需要的工作。如果不理解这四组八个小等式，不妨写一个N=16时的原序序列和逆序序列就懂啦

2.利用对偶性完成优化

这里利用对偶性我们先完成一个小目标：将运算量降低至原来的 $\frac{1}{4}$
首先利用式子 $1.a$ ，计算小于 $\frac{N}{2}$ 的偶数，这里以N=16为例

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
0		4		2		6

这时候我们可以看到 $1.b$ 实际上没有起到多大作用（能否发挥作用在最后进行探讨）
然后看到式子 $2.a$ ：$rev(a+1)=\frac{N}{2}+A$ 我们可以计算小于 $\frac{N}{2}$ 的奇数，这里A我们在上一步中已经完成计算，只需要简单地加上一个 $\frac{N}{2}$ 就可以了

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
0	0+8=8	4	4+8=12	2	2+8=10	6	6+8=14

现在小于 $\frac{N}{2}$ 的部分已经完成了，根据对偶性，利用式子 $2.b$ ：$rev(\frac{N}{2}+A)=a+1$

注意在利用这个式子之前我们需要证明：在小于 $\frac{N}{2}$ 的序列中，原序偶数序列的逆序序列均小于 $\frac{N}{2}$ ，奇数序列的逆序序列均大于 $\frac{N}{2}$

证明非常容易，只需展开为二进制即可。现在我们可以放心使用 $2.b$

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
0	8	4	12	2	10	6	14	1		5		3		7

剩下的只有大于 $\frac{N}{2}$ 的奇数部分了，我们有公式 $3.a$ ，利用其我们可以顺利计算出这些剩下的部分

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
0	8	4	12	2	10	6	14	1	8+0+1=9	5	8+4+1=13	3	8+2+1=11	7	8+6+1=15

我们看到对偶式 $3.b$ 没有起到多大作用
我们得到最后的逆序序列

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
0	8	4	12	2	10	6	14	1	9	5	13	3	11	7	5

3.优化后的C语言实现

int BitReverse(int j)
{
    int i, p;
        p = 0;
        for (i = 0; i < LogN; i++)
        {
            if (j&(1 << i))
            {
                p += 1 << (LogN - i - 1);
            }
        }
        return p;
}

int bitcopy()
{
    int i = 0, j;
    for (i = 0; i < N / 2;i += 2)
    {
        rev[i] = BitReverse(i);
        rev[i + 1] = N / 2 + rev[i];
        rev[N / 2 + i] = rev[i] + 1;
        rev[N / 2 + i + 1] = N / 2 + rev[i] + 1;
    }
    return 0;
}

这里rev[]就是生成的倒位序列。实际上我们完全不需要存储这个倒位序列（既然要存储这个序列查表法岂不更好？），我们注意到上面的每一步仅仅是完成两个数字之间的交换，添加少量代码即可完成，这里不再赘述。

通过改进算法，在我的电脑上进行 $N=2^{21}$ 的FFT，结果时间提高到0.19s，距离FFT Benchmark中最快的ooura FFT仅仅0.05s之遥

4.随便的一点探讨

上面我们说对偶式 $1.b$ 与 $3.b$ 似乎没有起到多大作用。这里以 $1.b$ ，当N=16时为例

0	1	2	3	4	5	6	7	…
0

运用对偶，0还是0额算了

0	1	2	3	4	5	6	7	…
0		4		2(对偶）

这里可以发挥作用了，我们可以运用对偶性省去一次计算，棒棒哒~

0	1	2	3	4	5	6	7	…
0		4		2		6

还是他本身，运算结束。
我们发现这里用了对偶可以省去一次运算。那么对于任意的 $N$ 式 $1.b$ 可以发挥多大作用？由于求解总是由小到大，我们发现只要满足

$$rev(a)＞a$$ 对偶就可以发挥作用节省运算次数，这个节省的次数是可以算出来的，我算了一下是 $$2^{\left \lceil \frac{logN}{2} \right \rceil -2}$$
这个东西是递增的N越大省去的运算里越多，只不过在N较大的时候它接近线性
同样的式 $3.b$ 依然可以这样改进哦，博主很懒代码还没写过，脑补一下觉得写起来应该不难的