小谈概率论（二）

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三、概率

         接下来我们围绕P展开，来说说什么是概率，我们如何定义概率。概率就是指某一个随机事件发生的可能性，但是随机事件有不同的类型。他有可能是掷骰子的随机事件，事件发生结果离散；也有可能是小明在8:30-9:00之间能够搭上公交车的，随机事件结果连续。因此根据随机事件的类型，有三类具体的随机事件及其对应的概率计算模型。

         这三者的具体定义我不在此展开，我们从这三者的共性和各自的特点分别来谈谈这三个概率模型。这三者有一个共性，就是用某种度量方法得到了所有随机事件发生的度量值T(S)以及事件A发生的度量值T(A)，则T(A)/T(S)就是随机事件A发生的概率。我们将这一共性模型命名为U_model，针对U_model这三个概率模型又有各自的特点：

• 古典概率模型是U_model的离散无需统计描述：即我们知道了随机事件A它具体会发生几次；
• 几何概率模型是U_model的连续无需统计描述：即我们知道了随机事件A它具体会发生多少；
• 统计概率模型是U_model的离散需统计描述：即我们不知道随机事件A它具体会发生几次，但我们重复一定次数的模拟实验，测量随机事件A在这一定次数内发生了几次。

         以上我们所说的概率是基于一个随机事件的概率，但是事件的发生往往可能存在相互作用。这种相互作用一方面可能会改变我们对随机事件发生的可能性的估计，比如有可能在事件B发生后，事件A发生的概率增大，比如大晴天出现彩虹的几率就比阴天高；另一方面，我们可以通过这种相互作用更简单的估计出随机事件发生的可能性。因此，基于随机事件的相互作用，就有了条件概率。以下是条件概率公式，含义是在事件B已经发生的情况下，事件A的概率：
$$P（A|B）=P(A\cap B)/P(B)$$

$$(P(B)>0)$$

         讲完条件概率，必须得提到全概率公式和贝叶斯公式。事件的发生往往不止一个条件，而全概率公式和贝叶斯公式就分别解决了这种复杂事件发生的可能性，以及根据先验知识尽可能地找到事件发生的原因。在已知的相同信息条件下，全概率公式解决的是结果发生的可能性；而贝叶斯是在已知结果的条件下，求结果发生的原因。让我们来举个例子了解这两个公式吧。假如小兴、小贤、小烈、小秀均告诉我他们明天可能会来拜访我，且概率均是1/4。四个人都有可能会准备拜访礼，每个人准备拜访礼的概率是1/2。那到了第二天，拜访礼出现在我家桌子上的可能性是多少呢，这便是全概率公式所解决的问题了——寻求事件结果发生的可能性。在这里，我们也来计算一下拜访礼发生的概率吧，设四人来我家的事件分别为事件B1、B2、B3、B4，而我收到拜访礼的事件是A，现求我收到拜访礼的概率P(A)：
$$P(A)=\sum P(A|Bj)P(Bj)$$
         在有人拜访我并赠予我拜访礼之后，我便和该朋友出去了。我妈妈买完菜回家发现桌上有一份拜访礼，并且她知道所有昨天我知道的信息。她现在想为这位拜访友人做他爱吃的饭菜，可迟迟打不通我的电话。于是她就开始判断是谁来的可能性大呢？这便是贝叶斯公式所解决的问题了，已知先验信息，找出后验概率：
$$P（Bj|A）=P（Bj）P(A|Bj)/P(A)$$
         虽然最后我妈妈还是无从得知谁来的概率最大，但她可以知道大家都有可能来，于是她就准备了四道菜。这便是全概率公式和贝叶斯公式所解决的问题啦。

         在介绍完条件概率的最后，我们再来说一下独立事件。首先，先看一下独立事件的定义：
$$事件A、B均\in F，且P(A)>0，若P(B|A)=P(B)，则称事件A、B相互独立$$
         我们再说条件概率的时候有说到事件的发生往往存在相互作用，而在独立事件中，这种相互作用并不存在。也就是事件A的发生并不影响事件B的发生，反之亦然。最后我们一定要区分互斥事件和独立事件。互斥事件的定义是：
$$互斥：P（AB）=\phi （\phi 是空集）独立：P（AB）=P(A)P(B)$$
         互斥事件之间是没有交集的，就是他们不可能同时出现，而独立事件他们有可能同时出现。比如班级里竞选班长和副班长，小兴和小烈都想竞争班长，而小贤和小秀想竞争副班长。那么小兴当上班长与小烈当上班长就是一组互斥事件，它们还是正交事件；而小兴当上班长，小贤当上副班长便是独立事件，他们互不影响。