Codeforces Round #701 (Div. 2) Summary

最新推荐文章于 2021-05-08 17:03:52 发布

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这篇博客总结了Codeforces Round #701(Div.2)中的四个题目：A. Add and Divide采用搜索与贪心策略，B. Replace and Keep Sorted涉及数学公式简化，C. Floor and Mod通过枚举求解，D. Multiples and Power Differences则利用构造技巧。每个题目展示了不同的算法策略和数学应用。

Codeforces Round #701 (Div. 2) Summary

A. Add and Divide：搜索+贪心

首先我没有想到什么好的思路。

但是发现我们如果每次去搜索的话，它的时间复杂度很低，每一次大于原来的答案就退出。

所以时间复杂度是 $O(log_2^n)$ ？

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a,b,T,ans;
void dfs(int a,int b,int s){
	if(s>=ans) return;
	if(!a){
		ans=s;
		return;
	}
	if(b==1) dfs(a,b+1,s+1);
	else dfs(a/b,b,s+1),dfs(a,b+1,s+1);
}
int main(){
	scanf("%d",&T);
	for (;T;T--){
		scanf("%d%d",&a,&b);
		if (a<b) printf("1\n");
		else if (a==b) printf("2\n");
		else{
			ans=1000000000;
			dfs(a,b,0);
			printf("%d\n",ans);
		}
	}
	return 0;
}

B. Replace and Keep Sorted：数学+统计

答案显然为 $∑i=lrai−ai−2−2\begin{aligned}\sum_{i=l}^{r}{a_i-a_{i-2}-2}\end{aligned}$ （不考虑边界情况）。

然后尝试化简。
$\sum_{i=l}^{r}{a_i-a_{i-2}-2}\\ =\sum_{i=l}^{r}{a_i-a_{i-2}}-2(r-l+1)\\ =a_r-a_l+k+1-2(r-l+1)\\ =a_r-a_l+k-2(r-l)-1$
直接计算即可。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,q,k,a[100005];
int main(){
	scanf("%d%d%d",&n,&q,&k);
	for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
	while (q--){
		int l,r;
		scanf("%d%d",&l,&r);
		printf("%d\n",k+a[r]-a[l]-2*(r-l)-1);
	}
	return 0;
}

C. Floor and Mod：数学+统计

设 $bk=\lfloor\frac a b\rfloor=a\mod b$ 。

可以得到 $a = k b + k$ 。
$\because b>k,\\ \therefore k^2<kb+k.\\ \therefore k^2<a.\\ \therefore k\leq \sqrt a.$
枚举 $k$ ，对于每一个 $k$ ，统计答案。

有两个式子 $1≤b≤y,1≤kb+k≤x1\leq b\leq y,1\leq kb+k\leq x$ ，第二个式子移项一下就是 $1≤b≤⌊xk⌋−11\leq b\leq \lfloor\frac xk\rfloor-1$ 。

所以 $1≤b≤min⁡{⌊xk⌋−1,y}1\leq b\leq \min\{\lfloor\frac xk\rfloor-1,y\}$ 。

但是我们要保证 $b > k$ ，所以 $b$ 的取值范围就是 $(k,min⁡{⌊xk⌋−1,y}](k,\min\{\lfloor\frac xk\rfloor-1,y\}]$ 。

注意可能没有答案或者答案小于 $0$ ，要与 $0$ 取 $max⁡\max$ 。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int T;
ll x,y;
int main(){
	scanf("%d",&T);
	for (;T;T--){
		scanf("%lld%lld",&x,&y);
		ll ans=0;
		for (ll k=1;k*k<x;k++){
			ll up=min(x/k-1,y);
			ll dn=k;
			ans+=max(up-dn,(ll)0);
		}
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}

D. Multiples and Power Differences：数学+构造

其实我们每一个数都取 $lcm(1,2,3,...,16)=720720\textrm {lcm}(1,2,3,...,16)=720720$ 在加上某一个数即可。

什么时候加呢？

就保证相邻的至少有一个是加的即可。

也就是当 $i + j$ 是偶数，输出 $720720$ ，否则输出 $720720+a_{i,j}^4$ ，原因是保证满足是某个正整数的 $4$ 次方。

#include<bits/stdc++.h>
#define LCM 720720
using namespace std;
int n,m,a[505][505];
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for (int i=1;i<=n;i++)
		for (int j=1;j<=m;j++)
			scanf("%d",&a[i][j]),a[i][j]*=a[i][j],a[i][j]*=a[i][j];
	for (int i=1;i<=n;i++){
		for (int j=1;j<=m;j++){
			if ((i+j)&1) printf("%d ",LCM+a[i][j]);
			else printf("%d ",LCM);
		}
	}
	return 0;
}