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最新推荐文章于 2025-03-26 20:12:48 发布

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分类专栏：机器思维文章标签：损失函数交叉熵均方误差平均绝对误差 Huber损失

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均方误差与平均绝对误差

均方误差： $MSE = \sum_{i=1}^{n}(y_{i} - y'_{i})^{2}$ 平均绝对误差： $MAE = \sum_{i=1}^{n}\left | y_{i} - y'_{i} \right |$

相对于MAE计算损失，MSE对异常点赋更大的权重。MSE寻找平均值，MAE寻找是中位数，对异常点而言，中位数比平均值更鲁棒性
MAE更新梯度始终相同，很小损失值也具有较大梯度，解决方法是降低损失同时降低学习率
MSE使用固定学习率也可以收敛，其梯度与损失值成正比

若需要异常点检测，选用MSE，如果把异常点当作受损函数，则用MAE
L1损失函数不连续，求解效率低；L2对异常点敏感，但可以得到更稳定的封闭解

Huber损失

对数据中的异常点没有平方误差那么敏感，在0处可微，在 $[-\delta ,\delta ]$ 之间等价MSE，在 $x > \left | \delta \right |$ ,为MAE

$L_{\delta }(y,f(x)) = \left\{\begin{matrix} \frac{1}{2}(y-f(x))^{2}\quad\quad\quad \left | y-f(x) \right | < \delta \\ \delta \left | y-f(x) \right | -\frac{1}{2}\delta ^{2} \quad \left | y-f(x) \right | < \delta \end{matrix}\right.$

可能需要不断调整 $\delta$ 的值

交叉熵

信息量：x事件概率为p(x), 其对应的信息量为 $I(x) = -log(p(x))$

小明考试及格率p(x)=0.1，信息量 $I(x_{a}) = -log(0.1) = 3.32$ ,小明及格可能性低，如果及格，引入较大信息量
小红考试及格率p(x)=0.999，信息量 $I(x_{b}) = -log(0.999) =0.0014$ ，小红成绩稳定，所以及格时，没有太多信息量

熵：熵是信息量的期望值，是事件确定型的度量标准。 $H(x) = -\sum_{i=1}^{n} p_{i}log(p_{i})$

小明的熵： $H(x_{a}) = -[p_{x_{a}}log(p_{x_{a}})+(1-p_{x_{a}})log(1-p_{x_{a}})]=0.469$ ,小红的熵： $H(x_{b})=0.0114$ 。（小明的不确定性低，十有九次不及格；但是小红更低，假设有另外一个同学的及格率为0.5，熵为1，有很大不确定性）

相对熵

又称KL散度，两个随机分布之间的距离度量：

$D_{KL}(p\left | \right | q)=\sum_{x \in X} p(x)log(\frac{p(x)} {q(x)}) = H_{p}(q)-H(p)$

上述公式两层意义：

度量当真实分布为p时，假设分布q的无效性
在真实分布为p时，使用假设分布q进行编码，相对于使用真实分布p进行编码所多出来的比特数

交叉熵：分布p、q已知：当真实分布p已知，H(p)为常数，此时交叉熵和KL距离在行为上等价，反映p与q相似度，当p=q时取得最小值。

$CEH(p,q) = -\sum_{x \in X}p(x)logq(x) = H(p)-D_{KL}(p\left | \right |q)$

假设p：真实的服从0-1分布，q：带估计的服从0-1分布：

$CEH(p,q) = -[ylog(h_{\theta}(x))+(1-y)log(1-h_{\theta}(x))]$

多分类中一个样本交叉熵：(一个样本中属于第 $y'_{i}$ 个类别的损失，只有 $y'_{i} =1$ 情况下才计算)

$H = -\sum_{i} y'_{i}log(y_{i})$

分类任务中为什么使用交叉熵，而不是均方差损失函数？

用MES计算分类问题的损失函数，loss曲线是波动的，有很多局极点，是非凸优化问题，而交叉熵为凸优化问题。

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