2019 Multi-University Training Contest 9 简要题解

1001 Rikka with Quicksort

先化式子先得到
$g_m(n)=n-1+\frac{2}{n}{\sum }_{i=0}^{n-1}{g}_m(i)=n-1+\frac{2}{n}{\sum }_{i=m+1}^{n-1}(i-1){\prod }_{k=i+1}^{n-1}(1+\frac{2}{k})$
然后后面乘积的一项如果忽略$k=i-1和i-2$的时候就为$\frac{(i-1)n(n+1)}{(i+1)(i+2)}$
然后问题就变成求一个${\sum }_{i=1}^n\frac{i-1}{(i+1)(i+2)}$
直接分段打表，每隔$10^6$个数算出一个

1002 Rikka with Cake

由于没有一条切线的$x,y$坐标相同，所以容易得到块数等于交点数加一

1003 Rikka with Mista

先折半，然后枚举每一位，算这一位是$4$的个数。
对于第$i$位，用桶排排出只有后$i$位的顺序，然后用双指针计算出这一位和为$4$，注意可能为$14.....$或者$4.....$

1004 Rikka with Geometric Sequence

容易得到${\sum }_{p=1}^n{\sum }_{q=p+1}^n[gcd(p,q)=1]{\sum }_{a=2}\lfloor \frac{n}{p^a}\rfloor$
然后化一下得${\sum }_{a=2}{\sum }_{q=2}^{{}^a\sqrt{n}}\phi (q)\lfloor \frac{n}{p^a}\rfloor$
对于等比序列长度为一或二的情况特殊处理，对于$a>=3$直接暴力
对于$a=2$，先预处理出$10^7$的$\phi$的值，然后就是类似莫比乌斯反演根号跳的三次方跳，对于$>10^7$的值就直接杜教筛筛。

1005 Rikka with Game

简单博弈。
对于前缀一段$y$，双方肯定都不会动。
如果剩下的是$z$，那么这个$z$就会变为$b$，也就是先手把$z$变$a$，后手$a$变$b$，先手结束
否则先手直接结束。

1006 Rikka with Coin

容易发现$10$元不会超过一张，$20$不会超过$4$张，$50$不会超过$1$张，剩下就是$100$元。
暴力枚举每种的张数，然后就能判断是否能构完以及要多少张$100$

1007 Rikka with Travels

枚举每条边，计算出这条边两边的子树的直径，换根$dp$即可。

1008 Rikka with Stable Marriage

根据限制就可以得到答案一定是每次选一对异或和最大的。
对于$a$和$b$都建出对应的$trie$。
每次询问就暴力$dfs$，哪里大就走哪边，对于$a$的$trie$走完记录下这个走点的最大值和走到最大值要走哪个儿子。
已经走过的就用返回记录的答案。
去掉一对$a$和$b$之后，就将那个$a$对应$trie$上点的答案设为未走过。

1011 Rikka with Segment Tree

设$F(n)={\sum }_{i=1}^{n}f(n,i)\ast i$
$b=lo{g}_2(n)$
$F(n)=F(\lfloor \frac{n}{2}\rfloor )+F(\lceil \frac{n}{2}\rceil )+\frac{n(n+1)}{2}+\lceil \frac{n}{2}\rceil \ast (nb+2(n-2^b))$
然后就是可以${\sum }_{i=1}^{n/2}F(i)$推到${\sum }_{i=1}^{n}F(i)$
然后就是很麻烦的式子了。