平衡二叉树

1概念

    平衡二叉树（Balanced Binary Tree或Height-Balanced Tree）又称AVL树（根据它的发明者G.M.Adelson-Velsky和E.M.Landis命名的）。它或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树：它的左子树和右子树都是平衡二叉树，且左子树和右子树的深度之差的绝对值不超过1.

    若将二叉树上结点的平衡因子BF（Balance Factor）定义为该结点的左子树的深度减去它的右子树的深度，则平衡二叉树上所有结点的平衡因子只可能是-1,0和1.

    只要二叉树上有一个结点的平衡因子的绝对值大于1，则该二叉树就是不平衡的。

2旋转

    由一个正序序列{1,2,3,4,5,6,7,8}构成一个二叉搜索树时，如图2所示，它将退化为链表，使得查找时出现最坏的情况——时间复杂度为O(n)。故而希望使由无序序列构成的二叉搜索树成为平衡二叉树。因为AVL树上任何结点的左右子树的深度之差都不超过1，即它的深度和logn是同数量级的，因此它的平均查找长度也和logn同数量级。

一般来说，在AVL树中进行插入或删除结点后，可能导致AVL树失去平衡。失去平衡的AVL树可以概括为4种类型：LL型、LR型、RR型和RL型。

(1)LL型（Left-Left型），在左子树的左边结点进行插入

在左子树的左边结点插入结点1之后，使得结点3失去平衡，这种就是失衡的LL型，可通过单向右旋平衡处理：让s变成根结点，s的右子树变成p的左子树，p变成s的右子树。

/*二叉搜索树结点*/
typedef struct bst_node
{
    int data;
    int bf;/*结点的平衡因子*/
    struct bst_node *lchild;
    struct bst_node *rchild;
}bst_node_t, bst_tree_t;


/*右旋平衡处理: 对以p为根的二叉搜索树作右旋处理，处理后p指向新的树根结点*/
void r_rotate(bst_tree_t **p)
{
    bst_tree_t *s;
    s = (*p)->lchild;         /*s为p的左子树根结点*/
    (*p)->lchild = s->rchild; /*s的右子树作为p的左子树*/
    s->rchild = *p;           /*p作为s的右子树*/
    *p = s;                   /*s作为根结点，p指向新的根结点*/
}

(2)RR型（Right-Right型），在右子树的右边结点插入

在右子树的右边结点插入结点5之后，使得结点3失去平衡，这种就是失衡的RR型，可通过单向左旋平衡处理：让s变成根结点，s的左子树变成p的右子树，p变成s的左子树。

/*左旋平衡处理：对以p为根结点的二叉搜索树作左旋处理，处理后，p指向新的根结点*/
void l_rotate(bst_tree_t **p)
{
    bst_tree_t *s;
    s = (*p)->rchild;        /*s为p的右子树根结点*/
    (*p)->rchild = s->lchild;/*s的左子树作为p的右子树*/
    s->lchild = *p;          /*p作为s的左子树*/
    *p = s;                  /*s作为根结点，p指向新的根结点*/
}

(3)LR型（Left-Right型），在左子树的右边结点插入

在左子树的右边结点插入结点3之后，使得结点5失去平衡，这种就是失衡的LR型。对这种情况，先作左旋处理，再作右旋处理。

(4)RL型（Right-Left型），在右子树的左边结点插入

在右子树的左边结点插入结点18之后，使得结点15失去平衡，这种就是失衡的RL型。对这种情况，现在右旋处理，再作左旋处理。