一、
y
=
x
2
−
3
x
+
2
x
2
−
1
e
1
x
y=\frac{x^2-3x+2}{x^2-1}e^{\frac1x}
y=x2−1x2−3x+2ex1，求间断点
解：
x
=
−
1
,
0
,
1
x = -1, 0, 1
x=−1,0,1为间断点
lim
x
→
−
1
f
(
x
)
=
∞
⟹
x
=
−
1
为
第
二
类
间
断
点
\lim_{x \to -1}f(x)=\infty \implies x = -1为第二类间断点
limx→−1f(x)=∞⟹x=−1为第二类间断点
f
(
0
−
0
)
=
0
；
f
(
0
+
0
)
=
−
∞
⟹
x
=
0
为
第
二
类
间
断
点
f(0-0)=0；f(0+0)=-\infty \implies x=0为第二类间断点
f(0−0)=0；f(0+0)=−∞⟹x=0为第二类间断点
lim
x
→
1
f
(
x
)
=
lim
x
→
1
(
x
−
1
)
(
x
−
2
)
(
x
−
1
)
(
x
+
1
)
e
1
x
=
lim
x
→
1
x
−
2
x
+
1
e
1
x
=
−
e
2
⟹
x
=
1
为
可
去
间
断
点
\lim_{x \to 1}f(x)=\lim_{x \to 1}\frac{(x-1)(x-2)}{(x-1)(x+1)}e^{\frac{1}{x}}=\lim_{x \to 1}\frac{x-2}{x+1}e^{1}{x}=-\frac e2\implies x=1为可去间断点
limx→1f(x)=limx→1(x−1)(x+1)(x−1)(x−2)ex1=limx→1x+1x−2e1x=−2e⟹x=1为可去间断点
二、
f
(
x
)
=
∣
x
∣
x
∗
2
1
x
−
1
1
+
2
1
x
−
1
f(x)=\frac{|x|}{x}*\frac{2^{\frac{1}{x-1}}}{1+2^{\frac{1}{x-1}}}
f(x)=x∣x∣∗1+2x−112x−11
解：
x
=
0
x=0
x=0与
x
=
1
x=1
x=1为间断点
f
(
0
−
0
)
=
−
1
∗
2
−
1
1
+
2
−
1
=
−
1
3
f(0-0)=-1*\frac{2^{-1}}{1+2^{-1}}=-\frac13
f(0−0)=−1∗1+2−12−1=−31
f
(
0
+
0
)
=
1
∗
2
−
1
1
+
2
−
1
=
1
3
f(0+0)=1*\frac{2^{-1}}{1+2^{-1}}=\frac13
f(0+0)=1∗1+2−12−1=31
⟹
x
=
0
为
跳
跃
间
断
点
\implies x=0为跳跃间断点
⟹x=0为跳跃间断点
f
(
1
−
0
)
=
1
∗
0
1
+
0
=
0
f(1-0)=1*\frac{0}{1+0}=0
f(1−0)=1∗1+00=0
f
(
1
+
0
)
=
1
∗
+
∞
1
+
∞
=
1
f(1+0)=1*\frac{+\infty}{1+\infty}=1
f(1+0)=1∗1+∞+∞=1
⟹
x
=
1
为
跳
跃
间
断
点
\implies x=1为跳跃间断点
⟹x=1为跳跃间断点
三、
f
(
x
)
=
x
e
x
x
−
1
−
1
f(x)=\frac x{e^{\frac x{x-1}}-1}
f(x)=ex−1x−1x
解：
x
=
0
，
1
为
间
断
点
x=0，1为间断点
x=0，1为间断点
x
→
0
⟹
x
x
−
1
→
0
⟹
e
x
x
−
1
−
1
∼
x
x \to 0 \implies \frac x{x-1} \to 0 \implies e^{\frac x{x-1}}-1 \sim x
x→0⟹x−1x→0⟹ex−1x−1∼x
lim
x
→
0
f
(
x
)
=
lim
x
→
0
x
x
x
−
1
=
−
1
⟹
x
=
0
为
可
去
间
断
点
\lim_{x \to 0}f(x)=\lim_{x \to 0}\frac x{\frac x{x-1}}=-1 \implies x=0为可去间断点
limx→0f(x)=limx→0x−1xx=−1⟹x=0为可去间断点
f
(
1
−
0
)
=
−
1
≠
f
(
1
+
0
)
=
0
⟹
x
=
1
为
跳
跃
间
断
点
f(1-0)=-1 \neq f(1+0)=0 \implies x=1为跳跃间断点
f(1−0)=−1=f(1+0)=0⟹x=1为跳跃间断点
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