中国剩余定理

注：此文章适合有一定数论基础的同学阅读...

神牛解释来源：   http://blog.sina.com.cn/s/blog_93ced90c0101716k.html

中国剩余定理要求n = n1 * n2 * ...　* nk中所有的数要两两互质,那么当给出的数据不是两两互质时要怎么处理呢?

为什么中国剩余定理要求n1,n2,...,nk两两互质呢？

因为这样就可以保证mi = n/ni必然和ni是互质的.

这样就有一个好处，就是mi%nj == 0(i != j);也就是说当用mi和除ni外的任何nj做模运算都将会等于0.

ci = mi*(mi^-1mod ni)具有这样的性质,ci % ni == 1;ci % nj == 0; 

         上式成立条件补充一点：mi*(mi^-1)%ni = mi%ni  *  (mi^-1)%ni=1

如果用坐标的形式从取模意义上来表示的话，ci可以表示成为（0,0,0，...1,0,0,0...);

用ai与ci相乘的结果模ni,将仍然得到ai.

如果说要求一个数a，已知 a mod n1 = a1, a mod n2 = a2;

那么a = a1*c1＋a2*c2必然是满足要求的，因为a mod n1 = a1, a mod n2 =a2;

        补充：由上面的解释知道  n1 | c2 , n2|c1; 所以必然是满足要求的

如果还要求a mod n3 = a3呢？

很简单 a = a1*c1 +a2*c2 ＋a3*c3.

一个原理，要让a mod ni = ai,只要让a加上对应的ai*ci就可以了，这就好像打补丁一样，缺什么就补什么，而且打什么补丁并不会相互影响.

当然以上性质都是在n1,n2,...nk两两互质的情况下才成立的.

如果遇到n1,n2,...,nk不能够保证两两互质的情况要怎么处理呢?

一种可能的思路是，先解出满足x mod n1 = a1，x mod n2 = a2的x的值，然后再加入a3,a4,...ai;

加入ai时，将a1,a2,...,ai-1都看成一个整体，这样我们每次都是在处理2个模线性方程，它们构成了一个模线性方程组.

现在的问题是如何解决由两个模线性方程组成的方程组?

求解单个的模线性方程是有固定的算法可以解决.

例如：

x mod n1 = a1 ①

x mod n2 = a2 ②

求出满足条件的x的值.

由第一个方程可以解出x = a1+k1*n1;

代入第二个方程，得到a1＋k1*n1 = a2 +k2*n2;

整理得，a1 - a2 = k2*n2 - k1*n1;

两边同时mod n2,得到(a2 - a1)mod n2 =( k1*n1) mod n2.

或者也可以写成n1*k1(mod n2) = (a2 - a1)mod n2. ③

只要解出k1代到①式中就可以了.

问题是k1怎么求？

把k1看成是变量，可以得到一个模线性方程n1*x =（a2 - a1）mod n2;

这是一个模线性方程，我们可以运用求解模线性方程的方法来求解.

x0 = x'(a2 - a1)/d(mod n2)

d = gcd(n1,n2);

其中x‘满足d = x'*n1＋y'*n2;可以用扩展欧几里德算法求出x';

所以x0是第二个方程的解，而且是最小解.

第二个方程的通解形式为x = x0 +k(n2/d);(0 <= k <=d -1)

也就是k1 = x0＋k(n2/d);(0<= k <= d-1)

代入第一个方程中，得到x = a１＋k1*n1 = a1 +(xo + k(n2/d))*n1 = a1 + x0*n1 + k*(n2/d)*n1

= a1 + x0*n1 + k*(n1*n2/d);

所以x = (a1 + x0*n1) mod(n1*n2/d);

这样子一直扩展下去最可以求出满足所有条件的x的值.

详细资料参考来源：http://yzmduncan.iteye.com/blog/1323599