时间和空间复杂度

原创已于 2025-07-28 19:49:46 修改 · 646 阅读

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#java #算法 #数据结构

于 2025-07-28 19:45:25 首次发布

一、算法效率

算法效率分析分为两种：第⼀种是时间效率，第⼆种是空间效率。时间效率被称为时间复杂度，⽽空间效率被称作空间复杂度。时间复杂度主要衡量的是⼀个算法的运⾏速度，⽽空间复杂度主要衡量一个算法所需要的额外空间。

二、时间复杂度

1.⼀个算法所花费的时间与其中语句的执⾏次数成正⽐例，算法中的基本操作的执⾏次数，为算法的时间复杂度。

2.大O的渐进表示法

void func1(int N){
    int count = 0;
    for (int i = 0; i < N ; i++) {
        for (int j = 0; j < N ; j++) {
            count++;
        }
    }
    for (int k = 0; k < 2 * N ; k++) {
        count++;
    }

    int M = 10;
    while ((M--) > 0) {
        count++;
    }
    System.out.println(count);
}

计算一下func1基本操作执行了多少次？

finc1执行的基本操作次数：F（N）=N^2+2*N+10

N=10 F(N)=130

N=100 F(N)=10210

n=1000 F(N)=1002010

实际中我们计算时间复杂度时，我们其实并不⼀定要计算精确的执⾏次数，⽽只需要⼤概执⾏次数,那么这⾥我们使⽤⼤O的渐进表⽰法。

⼤O符号（Big O notation）：是⽤于描述函数渐进⾏为的数学符号。

3.推导大O阶的方法

1、⽤常数1取代运⾏时间中的所有加法常数。

2、在修改后的运⾏次数函数中，只保留最⾼阶项。

3、如果最⾼阶项存在且不是1，则去除与这个项⽬相乘的常数。得到的结果就是⼤O阶。

由以上的理论我们可以知道func1的时间复杂度为O（N^2）

一共有最好和最坏两种情况，基本操作执⾏最好N次，最坏执⾏了(N*(N-1))/2次，通过推导⼤O阶⽅法+时间复杂度⼀般看最坏，时间复杂度为 O(N^2)

代码分析

外层循环：控制每轮排序的终止位置 end，从数组末尾向前递减至 1。
内层循环：遍历区间 [1, end)，比较相邻元素并交换逆序对。
优化标志：若某轮未发生交换（sorted 保持 true），说明数组已排序，提前终止。

时间复杂度计算

最坏情况（数组完全逆序）

外层循环执行 n 次（end 从 n 递减到 1）。
内层循环在第 i 轮执行 end-1 次（即 n-i 次）。
总比较次数：∑(n−i)=n(n−1)/2≈O(n^2)
交换次数：每次比较都触发交换，共 \(\frac{n(n-1)}{2}\) 次。
时间复杂度：\(O(n^2)\)。

最优情况（数组已排序）

外层循环仅执行 1 次。
内层循环执行 n-1 次比较，未发生交换，触发 sorted=true，提前终止。
时间复杂度：\(O(n)\)。

关键点

冒泡排序的优化：通过 sorted 标志检测有序状态，将最优情况的时间复杂度从 \(O(n^2)\) 降至 \(O(n)\)。
平均情况：仍为 \(O(n^2)\)，因为大多数情况下需多次遍历数组。

结论

最坏时间复杂度：\(O(n^2)\)
最优时间复杂度：\(O(n)\)
平均时间复杂度：\(O(n^2)\)

long factorial(int N) {

return N < 2 ? N : factorial(N-1) * N;

}

int fibonacci(int N) {

return N < 2 ? N : fibonacci(N-1) + fibonacci(N-2);

}

时间复杂度计算：

递归结构：每次递归生成两个子问题（fibonacci(N-1) 和 fibonacci(N-2)），形成二叉树结构。
递归树节点数：每个节点（除叶子外）分裂为两个子节点，递归树的节点总数近似为 \(O(2^N)\)。
- 严格推导：斐波那契递归的时间复杂度为 \(O(\phi^N)\)，其中 \(\phi \approx 1.618\) 是黄金比例。但在算法分析中，通常简化为指数级 \(O(2^N)\)。
每层操作：每次递归仅执行一次加法（fibonacci(N-1) + fibonacci(N-2)），时间为常数 \(O(1)\)。
总时间复杂度：递归树的节点总数 \(\times\) 每层操作时间，即 \(O(2^N)\)。