矩阵求逆

最新推荐文章于 2024-04-21 14:19:26 发布

自由自在梦在何方

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矩阵求逆的一些算法：

$(E+A)^{-1}=?$

设 $(E+A)^{-1}=E+X$ ，X待定。

$\\ (E+A)(E+X)=E \\ E+A+X+AX=E \\ A+X+AX=0 \\ X(E+A)=-A \\ X=-A(E+A)^{-1}$

$(E+BCX)^{-1}=?$

$\\ (E+BCX)=E-BCX(E+BCX)^{-1} \\ (E+BCX)=E-BC(X^{-1}+BC)^{-1} \\ (E+BCX)=E-B(X^{-1}C^{-1}+B)^{-1} \\ (E+BCX)=E-B(C^{-1}+XB)^{-1}X$

$(A+BCD)^{-1}=?$

$\\ (A+BCD)=A^{-1}(E+BCDA^{-1})\\ (A+BCD)=A^{-1}(E-B(C^{-1}+DA^{-1}B)^{-1}DA^{-1})\\ (A+BCD)=A^{-1}-A^{-1}B(C^{-1}+DA^{-1}B)^{-1}DA^{-1}$

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