等式约束优化与不等式约束优化

最新推荐文章于 2024-10-17 12:53:27 发布

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在学习SVM的原理时，接触到了等式约束优化与不等式约束优化，下面是根据相关资料自己总结出来的自己的，希望对大家有所帮助，这是第一篇博客。

1.等式约束优化

1.1.问题描述

当目标函数加上等式约束条件之后，原本的非约束优化变成了等式约束优化，如下：

$\min_{x} f(x)$ .....................................................................................(1)

$s.t. \ \ \ h(x)=0$ ............................................................................(2)

因为存在约束条件，所以将 $f(x)$ 的解限定在了一个可行域的区域，此时可能找不到可以使得 $\nabla_xf(x)$ 为0的点，但是我们的目的是找到可行域范围内 $f(x)$ 的最小值即可。

1.2.解法

利用拉格朗日乘子法，引入拉格朗日算子 $\alpha \in R^m$ ,构建拉格朗日函数如下：

$L(x,\alpha)=f(x)+\alpha*h(x)$ ..........................................................(3)

然后对拉格朗日函数 $L(x,\alpha)$ 求 $x$ 的偏导，令偏导为0，即：

$\nabla_xL(x,\alpha)=0$ ..............................................................................(4)

对（2）（4）式进行求解即得到此类问题的最优解。

1.3.解释

假设我们的目标函数为二维的，即 $f(x,y)$ ，在平面中画出 $f(x,y)$ 的等高线，如下图的虚线所示

显而易见，只有当等高线与目标函数的曲线相切时才有可能得到可行解。因此拉格朗日取得极值的必要条件是目标函数与约束函数相切，这时两者的法向量是平行的，即

$\nabla_xf(x)-\alpha\nabla_xh(x)=0$ ................................................................(5)

所以正好可以得到（3）式，需要注意的是， $\alpha$ 仅仅要求不等于0即可，正负号不需要确定。

2.不等式约束优化

2.1.问题描述

不等式约束优化问题为：

$\min_{x} f(x)$ ...........................................................................................(6)

$s.t. \ \ \ g(x)\leq0$ ..................................................................................(7)

2.2.解法

首先构建拉格朗日函数如下：

$L(x,\alpha)=f(x)+\beta *h(x)$ ...............................................................(8)

对(8)式关于 $x$ 求偏导，可得

$\nabla_xL(x,\beta)=0$ ...................................................................................(9)

另外还有KKT条件如下：

$\beta=0 \ and \ h(x)> 0$ 或者 $\beta> 0 \ and \ h(x)=0$ .....................(10)

由（9）（10）两式可以得出最后的最优解。对于（10）式的解释请看2.3节。

2.3.解释

假设我们的目标函数为二维的，下图给出了目标函数的等高线与不等式约束：

根据上图可知，可行解存在于 $g(x)< 0$ 或者 $g(x)=0$ 的区域里取到，存在下列两种情况：

a)当可行解 $x$ 落在 $g(x)< 0$ 的区域内，此时约束条件不起作用，直接极小化 $f(x)$ 即可，所以（1）式 $L(x,\alpha)=f(x)+\beta *h(x)$ 中，只需满足 $\beta=0$ 即可。即上图左侧所示.

b)当可行解 $x$ 落在 $g(x)= 0$ 的区域内，此时等价于等式约束优化问题。即上图右侧所示。此时目标函数的梯度方向为指向中心位置的反方向，而约束函数 $h(x)$ 由约束区域指向非约束区域。由下图可以看出，在最优解的位置，约束函数的梯度方向于目标函数的梯度方向正好相反，从而有：

$-\nabla_xf(x)=\beta*\nabla_xg(x)$ ..................................................(11)

（11）式其实就是（9）式的变形。当然（11）式有一个限制条件 $\beta> 0$ 。