bzoj 2820 莫比乌斯反演

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莫比乌斯反演

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本文提供了解决特定数学问题的方法，即在给定范围内找到满足质数最大公约数条件的数对数量。通过使用筛法和前缀和数组优化，解决了复杂度较高的计算任务。

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2820: YY的GCD

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Description

神犇YY虐完数论后给傻×kAc出了一题
给定N, M,求1<=x<=N, 1<=y<=M且gcd(x, y)为质数的(x, y)有多少对
kAc这种傻×必然不会了，于是向你来请教……
多组输入
Input

第一行一个整数T 表述数据组数
接下来T行，每行两个正整数，表示N, M
Output

T行，每行一个整数表示第i组数据的结果
Sample Input

2

10 10

100 100

Sample Output

30

2791

HINT
T = 10000 N, M <= 10000000

思路：一开始肯定是想暴力枚举质数p,然后n/p m/p 再加上分块去搞明显还是会超时

超时代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<vector>
#include <ctime>
#include<queue>
#include<set>
#include<map>
#include<stack>
#include<iomanip>
#include<cmath>
#define mst(ss,b) memset((ss),(b),sizeof(ss))
#define maxn 0x3f3f3f3f
#define MAX 10000000
///#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
#define INF (1ll<<60)-1
using namespace std;
int mu[MAX],prime[MAX],vis[MAX],sum[MAX];
int cnt;
void Moblus(){
    cnt=0;
    mst(vis,0);
    sum[1]=mu[1]=1;
    sum[0]=0;
    for(int i=2;i<=MAX;i++){
        if(!vis[i]){
            prime[++cnt]=i;
            mu[i]=-1;
        }
        for(int j=1;j<=cnt;j++){
            if(i*prime[j]>MAX) break;
            vis[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0){
                mu[i*prime[j]]=0;
                break;
            } else mu[i*prime[j]]=-mu[i];
        }
        sum[i]=sum[i-1]+mu[i];
    }
}
int main(){
    Moblus();
    int T,n,m;
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        scanf("%d%d",&n,&m);
        if(n>m) swap(n,m);
        ll ans=0;
        for(int i=1;i<=cnt && prime[i]<=n;i++){
            int nn=n/prime[i],mm=m/prime[i];
            int last=0;
            for(int j=1;j<=nn;j=last+1){
                last=min(nn/(nn/j),(mm/(mm/j)));
                ans+=(ll)(nn/j)*(mm/j)*(sum[last]-sum[j-1]);
            }
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}

然后去找了一篇博客,说的很清楚啊,我截图一下吧

复杂度的话大概在O(T*logN) 仰慕黄学长

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<vector>
#include <ctime>
#include<queue>
#include<set>
#include<map>
#include<stack>
#include<iomanip>
#include<cmath>
#define mst(ss,b) memset((ss),(b),sizeof(ss))
#define maxn 0x3f3f3f3f
#define MAX 10000001
///#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
#define INF (1ll<<60)-1
using namespace std;
int mu[MAX],prime[MAX],vis[MAX];
ll g[MAX];
int cnt;
void Moblus(){
    cnt=0;
    mst(vis,0);
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=MAX;i++){
        if(!vis[i]){
            prime[++cnt]=i;
            mu[i]=-1;
        }
        for(int j=1;j<=cnt;j++){
            if(i*prime[j]>MAX) break;
            vis[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0){
                mu[i*prime[j]]=0;
                break;
            } else mu[i*prime[j]]=-mu[i];
        }
    }
    for(int i=1;i<=cnt;i++){
        int p=prime[i];
        for(int j=1;j*p<=MAX;j++){
            g[j*p]+=mu[j];
        }
    }
    for(int i=1;i<=MAX;i++) g[i]+=g[i-1];
}
int main(){
    Moblus();
    int T,n,m;
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        scanf("%d%d",&n,&m);
        if(n>m) swap(n,m);
        ll ans=0;
        for(int i=1,last=0;i<=n;i=last+1){
            last=min((n/(n/i)),(m/(m/i)));
            ans+=(ll)(g[last]-g[i-1])*(n/i)*(m/i);
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}