数值分析6 (高斯消元法)

最新推荐文章于 2024-01-01 02:35:31 发布

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高斯消元法是解决线性方程组的重要手段，通过初等变换将方程组转化为上三角形式，简化求解过程。该方法涉及到解的存在性、唯一性，以及Cramer法则。在消元阶段，通过主元和乘子完成化简，最终实现LU分解，回代阶段则从前向后逐个求解变量。高斯消元法的时间复杂度为O(n^3/3)，在大规模计算中具有重要意义。

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1 引言

非线性能够精确且细致的刻画现实问题, 但是线性主导了现实。求解非线性方程组、常微分方程组、偏微分方程组和积分方程组最终都是归结为方程组的求解。大规模代数系统的求解是科学与工程计算的基础和关键,其计算量也占有非常大的比重, 有的甚至占整个计算的80%以上！

大规模线性方程组的求解能力综合地体现了一个国家的基础科研水平, 比如国际上超级计算机排名的标准就是在相同精度下测试求解大规模线性方程组的速度。

大规模线性方程组求解关系到国民经济和国防安全的若干关键领域, 在很多高新工程技术领域其已成为高精度快速计算的瓶颈。

很多的问题都可以转化为求解以下的线性方程组，方程也可以写成 $Ax=b$ 的形式。

⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ a 11 x 1 + a 12 x 2 + \dots + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + \dots + a 2 n x n = b 2 \dots \dots \dots \dots a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + \dots + a n n x n = b n

$\left\{ \begin{array}{l} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \cdots + a_{1n} x_n = b_1 \\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \cdots + a_{2n} x_n = b_2 \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \\ a_{n1} x_1 + a_{n2} x_2 + \cdots + a_{nn} x_n = b_n \\ \end{array} \right.$