数据结构——二叉树

最近开始学习王争老师的《数据结构与算法之美》，通过总结再加上自己的思考的形式记录这门课程，文章主要作为学习历程的记录。

树是一种非线性表结构。树这种数据结构比线性表的数据结构要复杂得多。

树中的每个元素叫做“节点”，用来连线相邻节点之间的关系，叫做“父子关系”。如上图，A节点是B节点的父节点，B节点是A节点的子节点。B、C、D这三个节点的父节点是同一个节点。因此，它们互称兄弟节点。把没有父节点的节点叫做根节点，也就是图中的节点E。将没有子节点的节点叫做叶子节点或叶节点，其中G、H、I、J、K、L均为叶子节点。

关于树，还有三个比较相似的概念：高度、深度和层，定义为：

节点的高度 = 节点到叶子节点的最长路径（边数）

节点的深度 = 根节点到这个节点所经历的边的个数

节点的层数 = 节点的深度+1

树的高度 = 根节点的高度

以下图为例

树的结构多种多样，最常用的还是二叉树。二叉树，顾名思义，每个节点最多有两个“叉”，也就是两个子节点，左子节点和右子节点。

其中，叶子节点均在最底层，除了叶子节点之外，每个节点都有左右两个子节点。这种二叉树叫做满二叉树。如下图中②：

叶子节点都在最底下两层，最后一层的叶子节点都靠左排列，并且除了最后一层，其他层的节点个数都要达到最大，这种二叉树叫做完全二叉树，如上图③。

要理解完全二叉树定义的由来，需要了解如何表示（或存储）一棵二叉树？

想要存储一棵二叉树，有两种方法：一种是基于指针或引用的二叉树链式存储法，一种是基于数组的顺序存储法。首先看一下比较简单，直观的链式存储法，每个结点有三个字段，其中一个存储数据，只要拎着根节点，就可以通过左右子节点的指针，把整棵树串起来。

接下来，再看基于数组的顺序存储法。我们把根结点存储在下标为i的位置，那左子节点存储在下标$2\ast i=2$的位置，右子节点存储在$2\ast i+1=3$的位置。以此类推，B节点的左子节点存储在$2\ast i=2\ast 2=4$的位置，右子节点存储在$2\ast i+1=2\ast 2+1=5$的位置。

这个例子是一棵完全二叉树，仅仅浪费了一个下标为0的存储位置。如果是非完全二叉树，会浪费比较多的数组存储空间。如下图：

因此，如果一棵树是完全二叉树，那用数组存储无疑是最省内存的。

二叉树的遍历

二叉树的遍历方法分为三种：前序遍历，中序遍历和后序遍历。

前序遍历是指：对于树中的任意节点来说，先打印这个节点，然后再打印它的左子树，最后打印它的右子树。

中序遍历是指：对于树中的任意节点来说，先打印它的左子树，然后再打印本身，最后打印它的右子树。

后序遍历是指：对于树中的任意节点来说，先打印它的左子树，然后再打印它的本身，最后打印节点本身。

因为每个节点最多会被访问两次，因此遍历操作的时间复杂度跟节点的个数n成正比，也就是说，二叉树遍历的时间复杂度为O(n)。

采用递归方式实现遍历

#先序遍历
def preOrder(root):
    if root is not None:
        print(root.data,end='')
        BiTree.preOrder(root.lchild)
        BiTree.preOrder(root.rchild)
#中序遍历
def inOrder(root):
    if root is not None:
        BiTree.inOrder(root.lchild)
        print(root.data,end='')
        BiTree.inOrder(root.rchild)
#后序遍历
def postOrder(root):
    if root is not None:
        BiTree.postOrder(root.lchild)
        BiTree.postOrder(root.rchild)
        print(root.data,end='')

采用非递归算法实现递归

#先序遍历
def preOrder2(root):
    p = root
    s = LinkStack()
    s.push(p)
    while not s.isEmpty():
        p = s.pop()
        print(p.data,end='')
        while p is not None:
            if p.lchild is not None:
                print(p.lchild.data,end='')
            if p.rchild is not None:
                s.push(p.rchild)
            p = p.lchild
#中序遍历
def inOrder2(root):
    p = root
    s = LinkStack()
    s.push(p)
    while not s.isEmpty():
        while p.lchild is not None:
            p = p.lchild
            s.push(p)
        p = s.pop()
        print(p.data,end='')
        if p.rchild is not None:
            s.push(p.rchild)
#后序遍历
def postOrder2(root):
    p = root
    t = None
    flag = True
    s = LinkStack()
    if p is not None:
        s.push(p)
        while p.child is None:
            p = p.lchild
            s.push(p)
        while not s.isEmpty() and flag:
            if p.rchild == t or p.rchild is None:
                print(p.data,end='')
                flag = True
                t = p
                s.pop()
            else:
                s.push(p.rchild)
                flag = False

二叉查找值

二叉查找树最大特点为支持动态集合的快速插入、删除和查找操作。二叉查找树也叫二叉搜索树，查找、插入、删除都依赖二叉查找树的特殊结构。二叉查找树要求，在树中的任意一个节点，其左子树中的每个节点的值，都要小于这个节点的值，而右子树节点的值都大于这个节点的值。

1、二叉查找树的查找操作

先取根节点，如果它等于我们要查找的数据，那就返回。如果要查找的数据比根节点的值小，那就在左子树中递归查找；如果要查找的数据比根节点的值大，那就在右子树中递归查找。

2、二叉查找树的插入操作

新插入的数据一般都在叶子节点上，所以我们只需要从根节点开始，依次比较要插入的数据和节点的大小。如果插入的数据比节点的数据大，并且节点的右子树为空，则将新数据插到右子节点的位置；如果不为空，就递归遍历右子树，查找插入位置。同理，如果要插入的数据比节点数值小，并且左子树为空，就将新数据插入到左子节点的位置。如果不为空，就再递归遍历左子树，查找插入位置。

3、二叉查找树的删除操作

二叉查找树的删除操作比较复杂，针对要删除节点的子节点个数不同，需要分三种情况来处理：

第一种情况是，如果要删除的节点没有子节点，只需要将父节点中，指向要删除节点的指针置为NULL，比如图中的删除节点55。

第二种情况是，如果要删除的节点只有一个子节点（只有左子节点或右子节点），我们只需要更新父节点，指向要删除节点的指针，让它指向要删除节点的子节点就可以了，比如图中的删除节点13。

第三种情况是，如果要删除的节点有两个子节点，就比较复杂了。我们需要找到这个节点的右子树的最小节点，把它替换到要删除的节点上，然后再删除掉这个最小节点，因为最小节点肯定没有左子节点（如果有左子节点，那就不是最小节点了）。所以，可以应用上面的两条规则来删除这个最小节点，比如删除节点18。

实际上，关于二叉查找树的删除操作，还有个非常简单、取巧的方法就是将要删掉的节点标记为“已删除”，但是并不真正从树中将这个节点去掉。这样原本删除的节点还需要存储在内存中，比较浪费内存空间，但删除操作就变得简单了，而且这种处理方法也没有增加。

4、二叉查找树的其他操作

二叉查找树还支持快速查找最大节点和最小节点、前驱节点和后驱节点。除了支持上述操作，还有一个重要特性就是中序遍历二叉查找树，可以输出有序的数据序列，时间复杂度为O(n)。

支持重复数据的二叉查找树

之前说的二叉查找树的操作，针对的都是不存在键值相同，当存储两个对象键值相同，则有两种处理方法。

第一种方法：二叉查找树中每一个节点不仅会存储一个数据，因此我们通过链表和支持动态扩容的数组等数据结构，把值相同的数据都存储在同一个节点上。

第二种方法：每个节点仍然只存储一个数据。在查找、插入数据的过程中，如果碰到一个节点的值，与要插入数据的值相同，就将这个要插入的数据放在这个节点的右子树，也就是说，把这个新插入的数据当做大于这个节点的值来处理。

当要查找数据时，遇到值相同的节点，并不停止查找操作，而是继续再查找，直到遇到叶子节点才停止。

对于删除操作，也需要先查找到每个要删除的节点，然后再按前面讲的删除操作的方法，依次删除。

二叉查找树的时间复杂度分析

先分析一个最理想情况，二叉查找树是一棵完全二叉树，这样时间复杂度其实都跟树的高度成正比，也就是O(height)。这时，问题就转化为如何求一棵包含n个节点的完全二叉树的高度？

对于完全二叉树，n满足这样一种关系（最大层数为L）

$n>=1+2+4+8+...+2^{L-2}+1$

$n<=1+2+4+8+...+2^{L-2}+2^{L-1}$

因此L的范围是[$lo{g}_2(n+1)$,$lo{g}_{2}n+1$]，完全二叉树的层数小于等于$lo{g}_{2}n+1$，也就是说，完全二叉树的高度小于等于$lo{g}_{2}n$，因此时间复杂度为O($logn$)。

不过，二叉查找树在频繁地动态更新过程，可能会出现树的高度远大于$lo{g}_{2}n$的情况。极端情况下，二叉树会退化成链表，时间复杂度为O(n)。因此，需要设计一种平衡二叉查找树。

于$lo{g}_{2}n$，因此时间复杂度为O($logn$)。

不过，二叉查找树在频繁地动态更新过程，可能会出现树的高度远大于$lo{g}_{2}n$的情况。极端情况下，二叉树会退化成链表，时间复杂度为O(n)。因此，需要设计一种平衡二叉查找树。

参考资料：王争《数据结构与算法之美》