线性代数学习笔记（十九）——矩阵的秩（二）

本篇笔记首先介绍了矩阵行满秩、列满秩、满秩和降秩等概念，并讨论了矩阵秩与r阶子式值的关系；然后重点介绍了阶梯形矩阵和行简化阶梯形矩阵，该部分内容非常重要，后续章节和考试经常会用到；同时还讨论了阶梯形矩阵的用处和将矩阵化为阶梯形，并由此求矩阵的秩；最后介绍了矩阵秩的两个性质，矩阵的秩与其转置矩阵的秩相等，任意矩阵乘以可逆矩阵秩不变。

1 矩阵秩的表示

矩阵的秩是反映矩阵行之间结构复杂程度的一个词。
记作：$r(A)=r$。
如：$r(A)=5$或$秩(A)=5$，$r$为$rank$的缩写。

规定：零矩阵的秩等零，即$r(O)=0$。

如果$A$为$m\times n$的矩阵，那么 0 ≤ r ( A ) ≤ m i n { m , n } 0{\le}r(A){\le}min\{m,n\} 0≤r(A)≤min{m,n}，
若$r(A)=m$，代表取了所有的行，称为行满秩；
若$r(A)=n$，意味着取了所有的列，称为列满秩；
若 r ( A ) = m i n { m , n } r(A)=min\{m,n\} r(A)=min{m,n}，即矩阵为行满秩或列满秩，统称为满秩；
若 r ( A ) < m i n { m , n } r(A)<min\{m,n\} r(A)<min{m,n}，称为降秩。

显然，如果$A$是方阵，并且为满秩$⟺A$可逆$⟺|A|\ne 0$。

证明：因为$A$为方阵，即$A_{n\times n}$，所以$r(A)=n$，说明$n$阶子式$\ne 0$，也就是$|A|\ne 0$，故$A$可逆。

2 矩阵秩的计算

如果按照矩阵秩的定义计算比较麻烦，例如$A_{6\times 8}$需要依次计算$1、2、3、4、5、6$阶的子式都找出来，并验算非零子式的最大阶数。那怎么求矩阵的秩呢？

定理2.7.1：矩阵$r(A)=r⟺$有一个$r$阶子式不为$0$，所以$r+1$阶子式全为$0$

是否存在$r+2$阶以上的子式不为$0$呢？
不可能！
因为根据行列式按行展开可知：行列式的值等于每行元素与对应的代数余子式乘积之和，而$r+2$阶行列式代数余子式为$r+1$阶，又因为$r+2$阶子式全为$0$，所以$r+2$阶子式肯定也全为$0$，同理，$r+2$以上的子式也都肯定全为$0$。

该定理实际很少用来计算矩阵的秩。

例1：求矩阵$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$的秩。
解：很明显可以找到最高$2$阶子式$\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right|=1$，不等于零，所以矩阵的秩为$2$。

例2：略。

★★★ 3 阶梯形矩阵

定义2.7.3
阶梯形矩阵：① 若有零行在非零行的下面，② 至上而下左起第一个非零元素（首非零元）左边零的个数随行数增加而（严格）增加。

$\left[\begin{array}{cccc}|1& 1& 1& 1\\ -& & & \\ 0& |1& 0& 4\\ & -& -& \\ 0& 0& 0& |5\\ & & & -\end{array}\right]$

矩阵第一行至第三行的首非零元个数依次为$0,1,3$个，首非零元个数随行的增加而增加，所以矩阵是阶梯矩阵。

$\left[\begin{array}{ccccc}|1& 0& 0& 4& 5\\ -& -& -& & \\ 0& 0& 0& |4& 5\\ & & & -& -\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$

矩阵第一行和二行的首非零元个数依次为$0,3$个，首非零元个数随行的增加而增加，所以矩阵是阶梯矩阵。

下面的矩阵是不是阶梯形呢？
$\left[\begin{array}{ccccc}|1& 1& 1& 1& 1\\ -& & & & \\ 0& |1& 1& 1& 1\\ & -& -& & \\ 0& 0& 0& ▎1& 1\\ 0& 0& 0& ▎3& 4\\ & & & -& -\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$

矩阵第一行至第四行的首非零元个数依次为$0,1,3,3$个，首非零元个数没有随行的增加而增加，所以矩阵不是阶梯矩阵。

“宋氏阶梯折线法”：横线可跨多个数，竖线只能跨一个数。
$\left[\begin{array}{cccccc}|1& 1& 1& 1& 1& 1\\ -& & & & & \\ 0& |1& 2& 3& 4& 5\\ & ▬& ▬& & & \\ 0& 0& 0& |1& 1& 1\\ & & & ▬& ▬& \\ 0& 0& 0& 0& 0& |1\\ & & & & & -\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$

可以理解为：$台阶高了下不去，平地可以走很远！$✌

★★★★★ 4 行简化阶梯形矩阵

行简化阶梯形矩阵：阶梯形矩阵，① 非零行的首非零元是$1$，② 首非零元所在列的其余元素是$0$。

行简化阶梯形矩阵非常重要！！！

举例：$\left[\begin{array}{cccc}|\cancel{①}& \cancel{0}& \cancel{0}& 4\\ \cancel{-}& ⋮& ⋮& \\ \cancel{0}& |\cancel{①}& 0& 5\\ ⋮& \cancel{-}& ⋮& \\ \cancel{0}& \cancel{0}& |\cancel{①}& 4\\ ⋮& ⋮& \cancel{-}& -\\ \cancel{0}& \cancel{0}& \cancel{0}& 0\end{array}\right]$

“宋氏三步走”：
① “宋氏阶梯折线法”判断是阶梯形；
② 用$◯$画出首零行的首非零元，看是不是$1$；
③ 经过首非零元整列画竖虚线（在矩阵上不太好表达，将就看吧），确保线上只有一个$1$，其余必须都是$0$。

5 阶梯形矩阵的用处

为什么要搞阶梯形矩阵和行简化阶梯形矩阵，有什么用呢？
先来看求矩阵的秩，假设有以下阶梯形矩阵：
$\left[\begin{array}{ccccc}0& ①& 1& 1& 1\\ 0& 0& 0& ④& 5\\ 0& 0& 0& 0& ①\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$

首先圈出首非零元，然后取首非零元所在的三行三列子式。
$\left|\begin{array}{ccc}①& & \\ & ④& \\ & & ①\end{array}\right|\ne 0$

可以发现，首非零元一定会凑到主对角上线，而且非零元素相乘一定不等于零。
其实首非零元有几个数，矩阵的秩就是几；首非零元有几个，矩阵的非零行就有几行。

一般的，矩阵的秩等于非零行的行数。

6 矩阵化为阶梯形

那如果矩阵不是阶梯形怎么办呢？

定理2.7.2：初等（行和列）变换不改变矩阵的秩。

$A\underset{初等列变换}{\overset{初等行变换}{\to }}阶梯形矩阵\to 数非零行的行数=矩阵的秩$

求矩阵秩的方法：
一般不用定理2.7.1，而用下面的方法：
① 使用初等行（或列）变换化成标准形，那么矩阵的秩等于标准形$1$的个数；（挺麻烦）
② 只用初等行变换化为阶梯形矩阵，它的非零行的行数就是矩阵的秩。（常用）

例3：求矩阵$\left[\begin{array}{ccccc}1& -1& 2& 1& 0\\ 2& -2& 4& -2& 0\\ 3& 0& 6& -1& 1\\ 0& 3& 0& 0& 1\end{array}\right]$的秩。

解：$\left[\begin{array}{ccccc}1& -1& 2& 1& 0\\ 2& -2& 4& -2& 0\\ 3& 0& 6& -1& 1\\ 0& 3& 0& 0& 1\end{array}\right]$

$\underset{第一行\times (-3)加到第三行}{\overset{第一行\times (-2)加到第二行}{\to }}\left[\begin{array}{ccccc}1& -1& 2& 1& 0\\ 0& 0& 0& -4& 0\\ 0& 3& 0& -4& 1\\ 0& 3& 0& 0& 1\end{array}\right]$

$\stackrel{交换第二行和第三行}{\to }\left[\begin{array}{ccccc}1& -1& 2& 1& 0\\ 0& 3& 0& -4& 1\\ 0& 0& 0& -4& 0\\ 0& 3& 0& 0& 1\end{array}\right]$

$\stackrel{第二行\times (-1)加到第四行}{\to }\left[\begin{array}{ccccc}1& -1& 2& 1& 0\\ 0& 3& 0& -4& 1\\ 0& 0& 0& -4& 0\\ 0& 0& 0& 4& 0\end{array}\right]$

$\stackrel{第三行\times 1加到第四行}{\to }\left[\begin{array}{ccccc}|1& -1& 2& 1& 0\\ -& & & & \\ 0& |3& 0& -4& 1\\ & -& -& & \\ 0& 0& 0& |-4& 0\\ & & & -& -\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$

所以阶梯形矩阵非零行是$3$行，故$r(A)=3$。

矩阵的初等变换中间使用箭头连起来，其实求矩阵的秩用初等行变换和初等列变换都可以，但一般只用初等行变换。

例4：矩阵$A=\left[\begin{array}{cccc}k& 1& 1& 1\\ 1& k& 1& 1\\ 1& 1& k& 1\\ 1& 1& 1& k\end{array}\right]$的秩为$3$，求$k$的值。
解：因为$r(A)=3$，所以四阶子式等于零。
即：$|A|=\left|\begin{array}{cccc}k& 1& 1& 1\\ 1& k& 1& 1\\ 1& 1& k& 1\\ 1& 1& 1& k\end{array}\right|=0$，
将上述行列式第二列、第三列和第四列加到第一列得：
$\left|\begin{array}{cccc}k+3& 1& 1& 1\\ k+3& k& 1& 1\\ k+3& 1& k& 1\\ k+3& 1& 1& k\end{array}\right|$

$=k+3\left|\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& k& 1& 1\\ 1& 1& k& 1\\ 1& 1& 1& k\end{array}\right|$

将第一列$\times (-1)$分别加到第二列、第三列和第四列得：
$=k+3\left|\begin{array}{cccc}1& & & \\ 1& k-1& & \\ 1& & k-1& \\ 1& & & k-1\end{array}\right|$
$=(k+3)(k-1{)}^3=0$

所以：$k=1$或$k=-3$。

注意：如果出现多个解，一定要代加原题验算！

当$k=1$时，矩阵$A=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1\end{array}\right]$的秩很明显等$1$，所以$k$只能等于$-3$。

7 秩的性质

① $r(A)=r(A^T)$；
② 任意矩阵乘以可逆矩阵秩不变；
该结论从来不用，而用下面的结论：
若$A_{m\times n}$为$m\times n$的任意矩阵，$P_m$为$m$阶可逆方阵，$Q_n$为$n$阶可逆方阵，
那么：$r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)$

证明：因为$P_m$为$m$阶可逆方阵，$Q_n$为$n$阶可逆方阵，那么：
$P=P_1{P}_2...P_s$，其中$P_1,P_2,...,P_s$均为初等矩阵，
$Q=Q_1{Q}_2...Q_t$，其中$Q_1,Q_2,...,Q_t$均为初等矩阵，所以：
$PA=P_1{P}_2...P_{s}A$，相当于对$A$做初等行变换，
$AQ=A{Q}_1{Q}_2...Q_t$，相当于对$A$做初等列变换，
$PAQ=P_1{P}_2...P_{s}A{Q}_1{Q}_2...Q_t$相当于对$A$既做初等行变换又做初等列变换，
根据定理2.7.2可知，初等行变换和初等列变换均不改变矩阵的秩。

“宋氏打油诗”
线性代数好深奥，
矩阵方程行列式；
数学如何学得好，
山东财大找宋浩。

8 引用

《线性代数》高清教学视频 “惊叹号”系列 宋浩老师_哔哩哔哩 (゜-゜)つロ 干杯~-bilibili_2.7 矩阵的秩（二）