基于动态规划方法求解0-1背包问题_利用动态规划算法编程求解0-1背包问题-优快云博客

这篇博客详细介绍了如何使用动态规划方法解决01背包问题，包括问题描述、算法设计、正确性证明、复杂度分析及算法实现。动态规划算法通过构建二维数组存储中间解，确保了无后效性和最优子结构，从而找到背包中物品的最大总价值。

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基于动态规划方法求解0-1背包问题

问题描述

现有n个物品，1个背包。对物品i，其价值为 $v_i$ ，重量为 $W_i$ ,背包的容量为 $W$ ,如何选取物品使得背包里转入物品的总价值最大？

在约束条件为：选取物品的重量小于等于背包重量的情况下，尽可能让背包中物品的总价值最大。

算法设计

根据问题描述，约束条件为,目标函数为：

在满足约束条件的情况下，找到是目标函数最大的解。

使用两个等长的一维数组存储物品的重量 $w e i g h t s [n]$ 和价值 $v a l u e s [n]$ ，这里第 $i$ 个物品的重量就是 $w e i g h t s [i]$ ，价值就是 $v a l u e s [i]$ 。

使用动态规划的方式求解该问题，构建二维数组 $d p [n + 1] [W + 1]$ 来记录中间过程的最优解，这里 $d p [i] [j]$ 表示当背包容量为 $j$ 时，装前 $i$ 个物品的最优解。

描述算法

依次考虑前 $i - 1$ 个物品装入背包的最优解，那么装入前 $i$ 个物品的最优解就是在前 $i - 1$ 个物品的最优解上进行构建

如果只考虑第i件物品放还是不放，那么就可以转化为一个只涉及到前i-1个物品的问题。如果不放第i个物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为j的背包中的最优价值组合”，对应的值为 $d p [i - 1, j]$ 。如果放第i个物品，那么问题就转化成了“前i-1件物品放入容量为 $j-w_i$ 的背包中的最优价值组合”，此时对应的值为 $dp[i-1,j-W_i)]+v_i$ 。

$d p [i] [0] = d p [0] [j] = 0$
如果第 $i$ 个物品重量大于背包总重量 $j$ ，那么 $d p [i] [j] = d p [i - 1] [j]$

如果第 $i$ 个物品重量小于等于背包总重量 $j$ ，那么 $d p [i] [j] = m a x (d p [i - 1] [j], d p [i - 1] [j - w e i g h t s [i]] + v a l u e s [i]$

01PACKAGE(values[n],weights[n],W) // W为背包容量
	dp[n+1][W+1]
	for i=0 to n:
		do dp[i][0] = 0
	for j=0 to W:
		do dp[0][j] = 0
	for i=1 to n:
		for j=1 to W:
			do
			if j < weights[i]:
				dp[i][j]=dp[i-1][j]
			else
				dp[i][j]=
					max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weights[i]]+values[i])
	return C

算法的正确性证明

假设 $x_1，x_2，…，x_n)$ 是01背包问题的最优解，则有 $x_2，x_3，…，x_n)$ 是其子问题的最优解，假设 $y_2，y_3，…，y_n)$ 是上述问题的子问题最优解，则有 $v_2y_2+v_3y_3+…+v_ny_n)+v_1x_1 > (v_2x_2+v_3x_3+…+v_nx_n)+v_1x_1$ 。说明(X_1，Y_2，Y_3，…，Y_n)才是该01背包问题的最优解，这与最开始的假设(X_1，X_2，…，X_n)是01背包问题的最优解相矛盾，故01背包问题满足最优性原理。

至于无后效性，其实比较好理解。对于任意一个阶段，只要背包剩余容量和可选物品是一样的，那么我们能做出的现阶段的最优选择必定是一样的，是不受之前选择了什么物品所影响的。即满足无后效性。

算法复发性分析

时间复杂度:

空间复杂度：

算法实现与测试

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        int weights[] = {2, 6, 3, 4, 2, 8, 2, 4, 7, 5, 1};
        int values[] = {10,23,5,34,23,17,22,32,12,15,32};
        int W=15;

        int dp[][] = packet01(W,weights,values);
        int res[] = new int[W];
        int j = W;
        for (int i = weights.length; i > 0; i--) {
            if(dp[i][j] == dp[i-1][j])
                res[i-1] = 0;
            else{
                res[i-1] = 1;
                j -= weights[i-1];
            }
        }
        System.out.println("res: "+dp[weights.length][W] );
        System.out.println("packets: ");
        for (int i = 0; i < W; i++) {
            System.out.print(res[i] +" ");
        }

    }
    public static int[][] packet01(int W, int weights[], int values[]) {
        int n = weights.length;
        int [][]dp = new int[n+1][W+1];

        for (int i = 0; i <= n; i++) {
            dp[i][0] = 0;
        }
        for (int j = 0; j <= W ; j++) {
            dp[0][j] = 0;
        }

        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= W; j++) {
                int currentItem = i-1;
                if(j < weights[currentItem]){
                    dp[i][j] = dp[i-1][j];
                } else {
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j],
                            dp[i-1][j-weights[currentItem]] + values[currentItem]);
                }
            }
        }
        return dp;
    }
}

测试：

res: 153
packets: 
1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0

心得体会

动态规划算法通常是用来解决某种最优性质的问题。基本思想是将带求解问题划分为若干个子问题，先求解子问题，然后从子问题的解得到原问题的解。动态规划与分治法的区别在于，动态规划的子问题可能是互相重叠的重复计算的，分治法则是相互独立的。可以用一个表来记录子问题是否已经求解，这样可以避免重复求解。

动态规划需要满足：

最优化原理，一个最优化策略的子策略一定是最优的，就是满足最优子结构的性质。
无后效性，一个阶段以前各阶段的状态无法直接硬性它未来的决策，只能通过当前的这个状态。
重叠性，就是记录已经解决过的问题，需要存储已经解决过的问题，空间复杂度比较大，是一种以空间换时间的算法。

动态规划的难点在于，如何根据问题的最优子结构的性质，构造动态规划方法中的递归公式或动态规划方程。就比如本问题中，如何设计这个方程才是难点所在。