用反证法证明“删数问题”的算法满足贪心选择性质（即设最优解不包含贪心选择，则可以通过转换找出一个更小的数，推出矛盾）

“删数问题”是指给定一个数字串，通过删除其中的一些数字（保持剩余数字的相对顺序不变），得到一个新的数字，使得这个新的数字尽可能小。证明贪心选择性质需要使用反证法。

题目设定与贪心策略

设原始数字串为 S=s1,s2,…,snS = s_1, s_2, \dots, s_nS=s1​,s2​,…,sn​，需要删去 kkk 个数字，剩下的数字构成的数尽可能小。贪心策略是：从左到右扫描数字，尽可能优先删除当前导致数值最大的数字。

目标

证明上述贪心策略满足贪心选择性质，即：假设最优解不包含贪心选择，则可以通过替换最优解的一部分，使其包含贪心选择，并且得到的数不比最优解大（即更优或等价）。

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证明

1. 假设

设贪心算法选择删除了一个数字 sis_isi​，得到部分结果数字串 SgreedyS_{greedy}Sgreedy​，而存在一个最优解 SoptimalS_{optimal}Soptimal​，SoptimalS_{optimal}Soptimal​ 没有删除 sis_isi​。我们需要证明 SoptimalS_{optimal}Soptimal​ 不可能比 SgreedyS_{greedy}Sgreedy​ 更优。

2. 转换

根据贪心策略，sis_isi​ 是删除序列中第一个（从左到右）比后续数字更大的数，或者是数字串中当前局部最大值。例如：

• 如果 si>si+1s_i > s_{i+1}si​>si+1​，贪心选择删除 sis_isi​。
• 若 SoptimalS_{optimal}Soptimal​ 没有删除 sis_isi​，则在 SoptimalS_{optimal}Soptimal​ 中，sis_isi​ 必须保留，而后续某处（如 sjs_jsj​）会删除一个不同的数字。

用 Soptimal′S_{optimal}'Soptimal′​ 表示通过替换删除 sis_isi​ 而构造的新的最优解。需要证明 Soptimal′S_{optimal}'Soptimal′​ 不会比 SoptimalS_{optimal}Soptimal​ 更差。

3. 观察

由于 si>si+1s_i > s_{i+1}si​>si+1​，删除 sis_isi​ 会使剩余数字串更小（即更优）。而 SoptimalS_{optimal}Soptimal​ 保留了 sis_isi​，则删除后续数字（如 sjs_jsj​）可能导致前缀数值更大：

• SgreedyS_{greedy}Sgreedy​ 的前缀较小，因为删掉了 sis_isi​。
• SoptimalS_{optimal}Soptimal​ 的前缀较大，导致整体数值不可能小于 SgreedyS_{greedy}Sgreedy​。

4. 矛盾

因此，如果 SoptimalS_{optimal}Soptimal​ 不包含贪心选择，则一定存在一种调整方案（删除 sis_isi​，而不是后续的某个数字），使得新的结果 Soptimal′S_{optimal}'Soptimal′​ 至少与 SoptimalS_{optimal}Soptimal​ 等价（或更优）。

这与假设 SoptimalS_{optimal}Soptimal​ 比 SgreedyS_{greedy}Sgreedy​ 更优矛盾。

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结论

通过反证法证明，删除当前导致数值最大的数字（即贪心选择）必然是最优解的一部分。因此，“删数问题”满足贪心选择性质。