【C++】平衡二叉树(AVL树)的实现

一、AVL树的概念

二叉排序树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。
为了避免树的高度增长过快，降低二叉排序树的性能，规定在插入和删除结点时，要保证任意结点的左、右子树高度差的绝对值不超过1，将这样的二叉树称为平衡二叉树，也称AVL树。

一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：

• 它的左右子树都是AVL树
• 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)

二、AVL树的实现

1、AVL树的定义

AVL树结点的定义：

template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
   
	AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_left(nullptr)
		,_right(nullptr)
		,_parent(nullptr)
		,_kv(kv)
		,_bf(0)
	{
   }
	AVLTreeNode<K, V>* _left;
	AVLTreeNode<K, V>* _right;
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;		// 使用三叉链方便后续处理，但要记得维护
	pair<K, V> _kv;					// 保存键值对
	int _bf;						// 平衡因子
};

2. 平衡二叉树的插入

2.1 按照二叉排序树的方式插入并更新平衡因子

AVL树就是在二叉排序树的基础上加上了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉排序树。那么AVL树的插入过程可以分为两步：
(1) 按照二叉排序树的方法插入新结点
(2) 调整结点的平衡因子

bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
   
	// 先按照二叉排序树的方法进行结点插入
	if (_root == nullptr)
	{
   
		_root = new Node(kv);
		return true;
	}
	Node* parent = nullptr;
	Node* cur = _root;
	while(cur)
	{
   
		if (kv.first < cur->_kv.first)
		{
   
			parent = cur;
			cur = cur->_left;
		}
		else if (kv.first > cur->_kv.first)
		{
   
			parent = cur;
			cur = cur->_right;
		}
		else
		{
   
			return false;
		}
	}
	cur = new Node(kv);
	if (kv.first < parent->_kv.first)
	{
   
		parent->_left = cur;
	}
	else
	{
   
		parent->_right = cur;
	}
	cur->_parent = parent;
	// 新结点插入后，AVL树的平衡性可能会遭到破坏，此时就需要更新平衡因子，并检测是否
	// 破坏了AVL树的平衡性
	while (parent)
	{
   
		/*
		cur插入后，parent的平衡因子一定需要调整，在插入之前，parent
		的平衡因子分为三种情况：-1，0, 1, 分以下两种情况：
 			  1. 如果cur插入到parent的左侧，只需给parent的平衡因子-1即可
 			  2. 如果cur插入到parent的右侧，只需给parent的平衡因子+1即可
		 */
		if (parent->_left == cur)
		{
   
			--parent->_bf;
		}
		else
		{
   
			++parent->_bf;
		}
		/*
		 此时：parent的平衡因子可能有三种情况：0，正负1， 正负2
 			  1. 如果parent的平衡因子为0，说明插入之前parent的平衡因子为正负1，插入后被调整
		成0，此时满足AVL树的性质，插入成功
 			  2. 如果parent的平衡因子为正负1，说明插入前parent的平衡因子一定为0，插入后被更
		新成正负1，此时以parent为根的树的高度增加，需要继续向上更新
 			  3. 如果parent的平衡因子为正负2，则parent的平衡因子违反平衡树的性质，需要对其进
		行旋转处理
		 */
		if (0 == parent->_bf)
		{
   
			break;
		}
		else if (1 == parent->_bf || -1 == parent->_bf)
		{
   
			cur = cur->_parent;
			parent = parent->_parent;
		}
		else if (2 == parent->_bf || -2 == parent->_bf)
		{
   
			// 旋转处理
		}
		else
		{
   
			// 如果平衡因子不是以上几种情况，说明代码逻辑错误
			assert(false);
		}
	}
	return true;
}

2.2 AVL树的旋转

如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，使之平衡化。根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种：LL平衡旋转（右旋），RR平衡旋转（左旋），LR平衡旋转（先左旋后右旋），RL平衡旋转（先右旋后左旋）

2.2.1 新节点插入较高左子树的左侧（LL平衡旋转）

上图在插入前，AVL树是平衡的，新节点插入到30的左子树(注意：此处不是左孩子)中，30左子树增加了一层，导致以60为根的二叉树不平衡，要让60平衡，只能将60左子树的高度减少一层，右子树增加一层，即将左子树往上提，这样60转下来，因为60比30大，只能将其放在30的右子树，而如果30有右子树，右子树根的值一定大于30，小于60，只能将其放在60的左子树，旋转完成后，更新节点的平衡因子即可。

在旋转过程中，有以下几种情况需要考虑：

1. 30节点的右孩子可能存在，也可能不存在
2. 60可能是根节点，也可能是子树
   如果是根节点，旋转完成后，要更新根节点
   如果是子树，可能是某个节点的左子树，也可能是右子树

void RotateR(Node* parent)
{
   
	// subL：parent的左孩子
	// subLR：parent的左孩子的右孩子，注意：该点可能不存在
	Node* subL = parent->_left;
	Node* subLR = subL->_right;
	
	subL->_right = parent;
	parent->_left = subLR;
	Node* ppnode = parent->_parent;		// 记录parent的父结点，用于连接新的子树

	parent->_parent = subL;

	if (subLR)
	{
   
		subLR->_parent = parent;
	}
	if (ppnode == nullptr)
	{
   
		_root = subL;
		_root->_parent = nullptr;
	}
	else 
	{
   
		if (ppnode->_left == parent)
		{
   
			ppnode->_left = subL;
		}
		else
		{
   
			ppnode->_right = subL;
		}
		subL->_parent = ppnode;
	}
	// 根据调整后的结构更新部分节点的平衡因子
	subL->_bf = parent->_bf = 0;
}

2.2.2 新节点插入较高右子树的右侧（RR平衡旋转）

具体实现参考右旋即可。

void RotateL(Node* parent)
{
   
	Node* subR = parent->_right;
	Node* subRL = subR->_left;

	subR->_left = parent;
	parent->_right = subRL;
	Node* ppnode = parent->_parent;		// 记录parent的父结点

	parent->_parent = subR;

	if (subRL)
	{
   
		subRL->_parent = parent;
	}
	if (ppnode == nullptr)
	{
   
		_root = subR;
		_root->_parent = nullptr;
	}