汉诺塔，简单递归带你破解出攻略

1-背景介绍

        法国数学家爱德华·卢卡斯曾编写过一个印度的古老传说：在世界中心贝拿勒斯（在印度北部）的圣庙里，一块黄铜板上插着三根宝石针。印度教的主神梵天在创造世界的时候，在其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的64片金片，这就是所谓的汉诺塔。不论白天黑夜，总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片：一次只移动一片，不管在哪根针上，小片必须在大片上面。僧侣们预言，当所有的金片都从梵天穿好的那根针上移到另外一根针上时，世界就将在一声霹雳中消灭，而梵塔、庙宇和众生也都将同归于尽。

2-玩一玩图解

        不管这个传说的可信度有多大，如果考虑一下把64片金片，由一根针上移到另一根针上，并且始终保持上小下大的顺序。这需要多少次移动呢?现在我们从左到右，分别把这3根柱子称为A，B，C，不管多少根金片，我们的目的是把所有的金片按照规则，从A移到C上。因为当多个金片时，从A不能直接到C，所以我们换种说法，金片从A经过B移到C。

1片金片

        这个很好处理，步骤为：

• 第1步：A>C

        总共需要了1步，我们记为f(1)=1

2片金片

        其步骤为：

• 第1步：A>B
• 第2步：A>C
• 第3步：B>C

        总共需要了3步，我们记为f(2)=3

3片金片

        其步骤为：我们可以简化一下步骤，把上面的2块黑色看成一个整体，把第3个黄色看成一个整体，所以把步骤变为3步

• 第1步：把2黑色从A经过C放到B，A-C>B，有f(2)=3
• 第2步：把1黄色从A经过B放到C，A-B>C，有f(1)=1
• 第3步：把2黑色从B经过A放到C，B-A>C，有f(2)=3

        总共需要了3+1+3=7步，我们记为f(3)=f(2)+f(1)+f(2)=2f(2)+f(1)=7

4片金片

        其步骤为：我们可以简化一下步骤，把上面的3块黑色看成一个整体，把第4个黄色看成一个整体，所以把步骤变为3步

• 第1步：把3黑色从A经过C放到B，A-C>B，有f(3)=7
• 第2步：把1黄色从A经过B放到C，A-B>C，有f(1)=1
• 第3步：把3黑色从B经过A放到C，B-A>C，有f(2)=7

        总共需要了7+1+7=15步，我们记为f(4)=2f(3)+f(1)=15

5片金片

        其步骤为：我们可以简化一下步骤，把上面的4块黑色看成一个整体，把第5个黄色看成一个整体，所以把步骤变为3步

• 第1步：把4黑色从A经过C放到B，A-C>B，有f(4)=15
• 第2步：把1黄色从A经过B放到C，A-B>C，有f(1)=1
• 第3步：把4黑色从B经过A放到C，B-A>C，有f(4)=15

        总共需要了15+1+15=31步，我们记为f(5)=2f(4)+f(1)=31

n片金片

        其步骤为：我们可以简化一下步骤，把上面的n-1块黑色看成一个整体，把第n个黄色看成一个整体，所以把步骤变为3步

• 第1步：把n-1黑色从A经过C放到B，A-C>B，有f(n-1)
• 第2步：把1黄色从A经过B放到C，A-B>C，有f(1)=1
• 第3步：把n-1黑色从B经过A放到C，B-A>C，有f(n-1)

        总共需要f(n)=2f(n-1)+1步

3-通项公式证明

        由f(n)=2f(n-1)+1

        得f(n)+1=2f(n-1)+2=2(f(n-1)+1),即

        f(n)+1=2(f(n-1)+1),同理
        f(n-1)+1=2(f(n-2)+1)
        f(n-2)+1=2(f(n-3)+1)
        …,…,…,…,…,…
        f(3)+1=2(f(2)+1)
        f(2)+1=2(f(1)+1)

        将上面所有式子左右两边分别相乘,正好可以消掉因子，得
        f(n)+1=2^(n-1)*(f(1)+1)=2^n-1*2=2⁽ⁿ⁾

        f(n)=2⁽ⁿ⁾-1

        我们回到那个传说，不管这个传说的可信度有多大，如果考虑一下把64片金片，由一根针上移到另一根针上，并且始终保持上小下大的顺序。这需要多少次移动呢?n=64时，有f(64)=18446744073709551615 ,也就是需要移动18446744073709551615 次。

        假如每秒钟一次，共需多长时间呢？一个平年365天有31536000秒，闰年366天有31622400秒，平均每年31557600秒，计算一下：这表明移完这些金片需要5845.42亿年以上，而地球存在至今不过45亿年，太阳系的预期寿命据说也就是数百亿年。真的过了5845.42亿年，不说太阳系和银河系，至少地球上的一切生命，连同梵塔、庙宇等，都早已经灰飞烟灭。

4-代码破解攻略

        从上面中我们可以了解到，要移动n个金片，我们可以简化一下步骤，把上面的n-1块黑色看成一个整体，把第n个黄色看成一个整体，所以把步骤变为3步

• 第1步：把n-1黑色从A经过C放到B，A-C>B，有f(n-1)步
• 第2步：把1黄色从A经过B放到C，A-B>C，有f(1)=1步
• 第3步：把n-1黑色从B经过A放到C，B-A>C，有f(n-1)步

        所以我们的递归代码为：

/**
 * 把n个金盘从a经过b移到c
 *
 * @param n     n个金片
 * @param a     a柱子
 * @param b     b柱子
 * @param c     c柱子
 */
public static void hannuota(int n, String a, String b, String c) {
    // 柱子没有结束
    if(n<1){
       return;
    }
    // 第1步：把n-1从A经过C放到B，A-C>B
    hannuota(n-1,a,c,b);
    // 第2步：把第n个从A经过B放到C，A-B>C
    System.out.println(a+"  移动> "+c);
    // 第3步：把n-1从B经过A放到C，B-A>C
    hannuota(n-1,b,a,c);
}

        我们试一下：

当n=2时，其步骤为：

当n=3时，其步骤为：