1-12 二叉查找树与AVL树

1.1 定义

一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树：

（1）若左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；

（2）若右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；

（3）左、右子树也分别为二叉排序树；

（4）没有键值相等的结点。

 

二叉查找树（Binary Search Tree），又叫：二叉搜索树，二叉排序树。

1.2 查找

步骤：

若根结点的值等于查找的值，成功；

若小于根结点的值，递归查左子树；

若大于根结点的值，递归查右子树；

若子树为空，查找不成功。

1.3 插入

首先执行查找算法，找出被插结点的父亲结点（比较被插入值与结点的值）。

判断被插结点是其父亲结点的左、右儿子。

将被插结点作为叶子结点插入。

若二叉树为空，则首先单独生成根结点。

2 AVL树（平衡二叉树）

2.1 简介

AVL树是最先发明的自平衡二叉查找树，在AVL树中任何节点的两个子树的高度差的绝对值不超过1，所以它也被称为高度平衡树。

平衡二叉树（Balanced Binary Tree）又被称为AVL树（有别于AVL算法），且具有以下性质：它是一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。

这个方案很好的解决了二叉查找树退化成链表的问题，把插入，查找，删除的时间复杂度最好情况和最坏情况都维持在O(logN)。但是频繁旋转会使插入和删除牺牲掉O(logN)左右的时间，不过相对二叉查找树来说，时间上稳定了很多。

2.2 定义

AVL树本质上还是一棵二叉查找树，它的特点是：

1. 本身首先是一棵二叉查找树。
2. 带有平衡条件：每个结点的左右子树的高度之差的绝对值（平衡因子）最多为1。

也就是说，AVL树，本质上是带了平衡功能的二叉查找树（二叉排序树，二叉搜索树）。

2.3 旋转

旋转的目的：是为了实现在插入新的结点之后，实现二叉树的再平衡。

平衡二叉树有4种旋转方式：

1. 单旋转-左旋
2. 单旋转-右旋
3. 双旋转-左右（先左旋后右旋）
4. 双旋转-右左（先右旋后左旋）

右旋转

修改parent和curLR的孩子指针域

root = parent -> parent

1 修改parent的指针域 

parent -> left = curLR

//避免出现左单支的场景

curLR -> parent = parent

2 修改curL的指针域

curL -> right = parent

curL -> parent = root

 

双旋转-左右