整数的拆分1

整数划分问题是算法中的一个经典命题之一，有关这个问题的讲述在讲解到递归时基本都涉及到。

    所谓整数划分，是指把一个正整数n写成如下形式：

    n=m1+m2+m3+....+mi;（其中mi为正整数，并且1<=mi<=n），则{m1,m2,m3,....,mi}为n的一个划分。

    如果{m1,m2,m3,....,mi}中的最大值不超过m，即max{m1,m2,m3,....,mi} <= m，则称它属于n的一个m划分。这里我们记n的m划分的个数为f(n,m)；

    例如当n=4时，它有5个划分：{4}、{3,1}、{2,2}、{2,1,1}、{1,1,1,1}；

    注意：4=1+3和4=3+1被认为是同一个划分。

    该问题是求出n的所有划分个数，即f(n,n)。下面我们考虑求f(n,m)的方法。

（一）方法一——递归法

    根据n和m的关系，考虑下面几种情况：

    （1）当n=1时，不论m的值为多少（m>0），只有一种划分，即{1}；

    （2）当m=1时，不论n的值为多少（n>0），只有一种划分，即{1,1,....1,1,1}；

    （3）当n=m时，根据划分中是否包含n，可以分为两种情况：

        （a）划分中包含n的情况，只有一个，即{n}；

        （b）划分中不包含n的情况，这时划分中最大的数字也一定比n小，即n的所有（n-1）划分；

        因此，f(n,n) = 1 + f(n, n - 1)。

    （4）当n<m时，由于划分中不可能出现负数，因此就相当于f(n,n)；

    （5）当n>m时，根据划分中是否包含m，可以分为两种情况：

        （a）划分中包含m的情况，即{m,{x1,x2,x3,...,xi}}，其中{x1,x2,x3,...,xi}的和为n-m，可能再次出现m，因此是（n-m）的m划分，因此这种划分个数为f(n-m, m)；

        （b）划分中不包含m的情况，则划分中所有值都比m小，即n的（m-1）划分，个数为f(n, m - 1)；

        因此，f(n,m) = f(n - m,m) + f(n, m - 1)。

    综合以上各种情况，可以看出，上面的结论具有递归定义的特征，其中（1）和（2）属于回归条件，（3）和（4）属于特殊情况，而情况（5）为通用情况，属于递归的方法，其本质主要是通过减少n或m以达到回归条件，从而解决问题。

    其递归表达式如下所示。

    

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>

//递归法求解整数划分
unsigned long GetPartitionCount(int n, int max)
{
    if(n == 1 || max == 1)
    {
        return 1;
    }
    if(n < max)
    {
        return GetPartitionCount(n, n);
    }
    if(n == max)
    {
        return 1 + GetPartitionCount(n, n - 1);
    }
    else
    {
        return GetPartitionCount(n - max, max) + GetPartitionCount(n, max - 1);
    }
}

int main(int argc, char **argv)
{
    int n;
    int m;
    unsigned long count;
    printf("请输入要划分的整数:");
    scanf("%d", &n);
    printf("请输入划分数:");
    scanf("%d", &m);
    if(n <= 0) 
    {
        fprintf(stderr, "输入的整数不能为非正数");
        return -1;
    }
    if(m <= 0)
    {
        fprintf(stderr, "输入的划分数不能为非正数");
        return -1;
    }
    count = GetPartitionCount(n, m);
    printf("整数划分（%d,%d)的方法数为：%d\n", n, m, count);
 
    return 0;
}

改进：现在要求整数只能拆分成1,2,4,10,20,40,100,200,400,1000,2000这11个数

递归法求解整数划分

当n=1时，只有1种划分，即{1},当b[m]=1时，只有一种划分
当n>1时，b[m]<n<b[m+1] ，n是否包含b[m]
f(n,b[m]) = f(n-b[m],b[m])+f(n,b[m-1])
当n>1时，b[m]=n，n是否包含n的情况
f(n,b[m]) = 1 + f(n,b[m-1])

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>

int b[] = {1,2,4,10,20,40,100,200,400,1000,2000} ;

unsigned long GetPartitionCount(int n, int m)
{
    if(n == 1 || b[m] == 1)
    {
        return 1;
    }
	 if(n < b[m])
    {
		 while(n<b[m])
		{
			m-- ; 
		}
        return GetPartitionCount(n, m);
    }
    if(n == b[m])
    {
        return 1 + GetPartitionCount(n, m - 1);
    }
    else
    {
        return GetPartitionCount(n - b[m], m) + GetPartitionCount(n, m - 1);
    }
}

int main(int argc, char **argv)
{
    int n;
    unsigned long count;
    printf("请输入要划分的整数:");
    scanf("%d", &n);
    if(n <= 0) 
    {
        fprintf(stderr, "输入的整数不能为非正数");
        return -1;
    }

	int m = 10 ;
	while(n<b[m])
	{
		m-- ; 
	}
    count = GetPartitionCount(n, m);
    printf("整数划分（%d)的方法数为：%d\n", n, count);
 
    return 0;
}